中考必会的几何模型：8字模型与飞镖模型

8字模型与飞镖模型

模型1：角的8字模型

如图所示,AC、BD相交于点O,连接AD、BC． 结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．

ADOBC

模型分析 证法一：

∵∠AOB是△AOD的外角,∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角, ∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． 证法二：

∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°,∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°,

∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC,∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C． （1）因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．

模型实例

观察下列图形,计算角度：

（1）如图①,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；

AEBFC图①DECAABAEB1O2CDDBCF12GED图④

图图③

解法一：利用角的8字模型．如图③,连接CD．∵∠BOC是△BOE的外角, ∴∠B＋∠E＝∠BOC．∵∠BOC是△COD的外角,∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型）,∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．

解法二：如图④,利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE的外角,∴∠1＝∠C＋∠E．

∵∠2是△GBD的外角,∴∠2＝∠B＋∠D．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．

1

（2）如图②,∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________．

ABCE图②DAO123PE图⑤BAOBFFQCDF12图⑥EDC

（2）解法一：

如图⑤,利用角的8字模型．∵∠AOP是△AOB的外角,∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角,∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型）,同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ,∠E＋∠F＝∠2＋∠3．③

由①＋②＋③得：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．

解法二：利用角的8字模型．如图⑥,连接DE．∵∠AOE是△AOB的外角, ∴∠A＋∠B＝∠AOE．∵∠AOE是△OED的外角,∴∠1＋∠2＝∠AOE． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠2．（角的8字模型）

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠1＋∠2＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F

＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：

1．（1）如图①,求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ ；

ABOEBCCD图①图DAOE

解：如图,∵∠1=∠B+∠D,∠2=∠C+∠CAD,

∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：

（2）如图②,求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝ ．

2

ABCD图②OE

解：由三角形的外角性质,知∠BAC=∠E+∠ACE,∠EAD=∠B+∠D,

又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°,∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E

＝180° 解法二：

2．如图,求：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝ ．

EFDGCHAB

解：

∵∠G+∠D=∠3,∠F+∠C=∠4,∠E+∠H=∠2,∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2,

∵∠B+∠2+∠1=180°,∠3+∠5+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°

解法二：

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