最新偏微分方程数值解法的MATLAB源码
[ 原创]偏微分方程数值解法的MATLAB源码【更新完毕】
说明：由于偏微分的程序都比较长，比其他的算法稍复杂一些，所以另开一贴，专门上传偏微分的程序 谢谢大家的支持！
其他的数值算法见：
..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004
1、古典显式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）
function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典显式格式求解抛物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % x -空间变量 % t -时间变量 %输入参数：uX -空间变量x的取值上限 % uT -时间变量t的取值上限 % phi -初值条件，定义为内联函数 % psi1 -边值条件，定义为内联函数 % psi2 -边值条件，定义为内联函数 % M -沿x轴的等分区间数 % N -沿t轴的等分区间数 % C -系数，默认情况下C=1 % %应用举例： %uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1; %phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %设置参数C的默认值 if nargin==7 C=1; end %计算步长 dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步长比 r1=1-2*r; if r > 0.5 disp('r > 0.5,不稳定') end %计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐层求解 for j=1:N for i=2:M U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j); end end U=U'; %作出图形 mesh(x,t,U); title('古典显式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') return;
古典显式格式不稳定情况
古典显式格式稳定情况
2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）
function [U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典隐式格式求解抛物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % x -空间变量 % t -时间变量 %输入参数：uX -空间变量x的取值上限 % uT -时间变量t的取值上限 % phi -初值条件，定义为内联函数 % psi1 -边值条件，定义为内联函数 % psi2 -边值条件，定义为内联函数 % M -沿x轴的等分区间数 % N -沿t轴的等分区间数 % C -系数，默认情况下C=1 % %应用举例： %uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1; %phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C); %设置参数C的默认值 if nargin==7 C=1; end %计算步长 dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=C*dt/dx/dx;%步长比 Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素 Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素 Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素 for i=1:M-2 Diag(i)=1+2*r; Low(i)=-r; Up(i)=-r; end Diag(M-1)=1+2*r; %计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end %逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward） for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*U(1,j+1); b1(M-1)=r*U(M+1,j+1); b=U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end U=U'; %作出图形 mesh(x,t,U); title('古典隐式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') return;
此算法需要使用追赶法求解三对角线性方程组，这个算法在上一篇帖子中已经给出，为了方便，再给出来
追赶法解三对角线性方程组
function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %追赶法求解三对角线性方程组Ax=b %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %x:三对角线性方程组的解 %L:三对角矩阵的下对角线，行向量 %D:三对角矩阵的对角线，行向量 %U:三对角矩阵的上对角线，行向量 %b:线性方程组Ax=b中的b，列向量 % %应用举例: %L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]'; %x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b) %检查参数的输入是否正确 n=length(D);m=length(b); n1=length(L);n2=length(U); if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m disp('输入参数有误！') x=' '; return; end %追的过程 for i=2:n L(i-1)=L(i-1)/D(i-1); D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1); end x=zeros(n,1); x(1)=b(1); for i=2:n x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1); end %赶的过程 x(n)=x(n)/D(n); for i=n-1:-1:1 x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i); end return;
古典隐式格式
在以后的程序中，我们都取C=1，不再作为一个输入参数处理
3、Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程 需要调用追赶法的程序
function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) %Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程 %[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N) % %方程：u_t=u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT %初值条件：u(x,0)=phi(x) %边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层…… % x -空间变量 % t -时间变量 %输入参数：uX -空间变量x的取值上限 % uT -时间变量t的取值上限 % phi -初值条件，定义为内联函数 % psi1 -边值条件，定义为内联函数 % psi2 -边值条件，定义为内联函数 % M -沿x轴的等分区间数 % N -沿t轴的等分区间数 % %应用举例： %uX=1;uT=0.2;M=50;N=50; %phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0'); %[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N); %计算步长 dx=uX/M;%x的步长 dt=uT/N;%t的步长 x=(0:M)*dx; t=(0:N)*dt; r=dt/dx/dx;%步长比 Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素 Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素 Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素 for i=1:M-2 Diag(i)=1+r; Low(i)=-r/2; Up(i)=-r/2; end Diag(M-1)=1+r; %计算初值和边值 U=zeros(M+1,N+1); for i=1:M+1 U(i,1)=phi(x(i)); end for j=1:N+1 U(1,j)=psi1(t(j)); U(M+1,j)=psi2(t(j)); end B=zeros(M-1,M-1); for i=1:M-2 B(i,i)=1-r; B(i,i+1)=r/2; B(i+1,i)=r/2; end B(M-1,M-1)=1-r; %逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward） for j=1:N b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2; b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2; b=B*U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end U=U'; %作出图形 mesh(x,t,U); title('Crank-Nicolson隐式格式，一维热传导方程的解的图像') xlabel('空间变量 x') ylabel('时间变量 t') zlabel('一维热传导方程的解 U') return;
Crank-Nicolson隐式格式
4、正方形区域Laplace方程Diriclet问题的求解
需要调用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解线性方程组
function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) %正方形区域Laplace方程的Diriclet边值问题的差分求解 %此程序需要调用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解线性方程组 %[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type) % %方程：u_xx+u_yy=0 0<=x,y<=ub %边值条件：u(0,y)=phi1(y) % u(ub,y)=phi2(y) % u(x,0)=psi1(x) % u(x,ub)=psi2(x) % %输出参数：U -解矩阵，第一行表示y=0时的值，第二行表示第y=h时的值…… % x -横坐标 % y -纵坐标 %输入参数：ub -变量边界值的上限 % phi1,phi2,psi1,psi2 -边界函数，定义为内联函数 % M -横纵坐标的等分区间数 % type -求解差分方程的迭代格式，若type='Jacobi'，采用Jacobi迭代格式 % 若type='GS'，采用Guass-Seidel迭代格式。默认情况下，type='GS' % %应用举例： %ub=4;M=20; %phi1=inline('y*(4-y)');phi2=inline('0');psi1=inline('sin(pi*x/4)');psi2=inline('0'); %[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,'GS'); if nargin==6 type='GS'; end %步长 h=ub/M; %横纵坐标 x=(0:M)*h; y=(0:M)*h; %差分格式的矩阵形式AU=K %构造矩阵A M2=(M-1)^2; A=zeros(M2); for i=1:M2 A(i,i)=4; end for i=1:M2-1 if mod(i,M-1)~=0 A(i,i+1)=-1; A(i+1,i)=-1; end end for i=1:M2-M+1 A(i,i+M-1)=-1; A(i+M-1,i)=-1; end U=zeros(M+1); %边值条件 for i=1:M+1 U(i,1)=psi1((i-1)*h); U(i,M+1)=psi2((i-1)*h); U(1,i)=phi1((i-1)*h); U(M+1,i)=phi2((i-1)*h); end %构造K K=zeros(M2,1); for i=1:M-1 K(i)=U(i+1,1); K(M2-i+1)=U(i+1,M+1); end K(1)=K(1)+U(1,2); K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2); K(M2-M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M); K(M2)=K(M2)+U(M+1,M); for i=2:M-2 K((M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1); K((M-1)*i)=U(M+1,i+1); end x0=ones(M2,1); switch type %调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K case 'Jacobi' X=EqtsJacobi(A,K,x0); %调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K case 'GS' X=EqtsGS(A,K,x0); otherwise disp('差分格式类型输入错误') return; end %把求解结果化成矩阵型式 for i=2:M for j=2:M U(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2)); end end U=U'; %作出图形 mesh(x,y,U); title('五点差分格式Laplace方程Diriclet问题的解的图像') xlabel('x') ylabel('y') zlabel('Laplace方程Diriclet问题的解 U') return;
正方形区域Laplace方程五点差分格式
最新偏微分方程数值解法的MATLAB源码说课讲解
