解方程
dlnL?=X. ……………(4分). =0得：Pd?n1 . 一台电子仪器出厂时，使用寿命1000小时以上的概率为0.6，1500小时
以上的概率为0.4. 现已使用了1000小时，求还能使用500小时以上的概率. 解：
条件概率问题. 令A=“使用寿命1000小时以上”，B=“使用寿命1500小时以上”. AB=B. ……………………(6分) 所求概率为P（B︱A）=P（B）/P（A）=2/3. ……………(6分) 2 . 某运动员参加射箭比赛，共有4支箭。设其每支箭的命中率均为p，且各次射箭是相互独立的。如果射中了就停止射箭，否则一直射到箭用尽.以X表示所需射箭次数，求X的概率分布和数学期望. 解：
X 1 2 3 4 概率 p (1-p)p (1-p)p 2(1-p)3 ……………(8分)
E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2+4(1-p)3. ……………(4分)
3 . 设随机向量(X，Y)概率密度为
?8xy,0?x?1,0?y?xf(x,y)=?.
其他?0, 求(1)关于边缘概率密度fX(x),fY(y) ; 解；
(1). fX?x???8xydy?4x301(2)概率P{Y≤
X2}.
x?0?x?1?, ……………(3分)
fY?y???8xydx?4(1?y2)y?0?y?1?. ……………(3分)
x/2(2) P{Y≤
X21}=
2y?x??8xydxdy??dx?8xydy?1/4. ……………(6分)
004 . 测量球的直径,设其值服从?a,b?上的均匀分布，求球的体积的分布密度. 解：
1 令X=“直径的测量值”， Y=“球体积”. 则Y=?X3 ………(2分)
6最新课件 密度??y?=lim6y?y?0P(y?Y?y??y)?? (a3?y?b3) ………(3分)
?y66?X?3P(36(y??y) =lim??)?y?0?y=
1limb?a?y?01236(y??y)??y?36y?……(3分)
按导数定义求出上面的极限为最后得：
1?2?3?3??yb?a?9??……………………(3分)
?1?2?3y?23??b?a??9????y???0??
5 . 设X1,X2,1?a3?y?b366其它?. …………………………(1分)
,Xn为?0?1?分布的一个样本,E?Xi??p,D?Xi??p?1?p?，
求EX,DX,E?S2?.
解：
????EX=E?X?=p, ………………(4分)
?? DX=
??1D?X?=p(1-p)/n. ………………(4分) nE?S2?=D?X?=p(1-p). ………………(4分)
1、 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2, 求三个灯泡在使用1000
小时以后，最多只有一个坏了的概率.
（1）解 设A={三个灯炮使用1000小时以后最多损坏了一只} B={三个灯炮使用1000小时以后都正常}
C={三个灯炮使用1000小时以后恰好损坏了一只} （2分） 则有 P?A??P?B?C? （4分） P(B)?0.008,1P(C)?C30.8?0.22?0.096 （4分）
P(A)?0.104 （2分）
2 . 设一支步枪击中飞机的概率为0.005，试求当1000支步枪同时开火时,
（1）飞机被击中的概率； （2）飞机恰中一弹的概率.
（2）解 ??np?5 设A={飞机被击中}， B={飞机被恰中一弹}
最新课件 则 (1) P(A)?1??0e?50!?1?e?5， （6分）
(2) P(B)?P{X?1}??e??1!?5e?5. (6分)
?21?x?xy0?x?1,0?y?23 . 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)?? 3?0其它?求(1)关于X和Y的边缘密度函数; (2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由).
（3）解 (1) fX(x)????????f(x,y)dy,2fY(y)????f(x,y)dx (2分)
当x?[0,1]时, fX(x)?1222(x?xy)dy?2x?x, ?033 当x?[0,1]时, fX(x)?0 (4分) 当y?[0,2]时, fY(y)?1112(x?xy)dx?y?, ?03631 当y?[0,2]时, fY(y)?0 （4分） （2）显然 f(x,y)?fX(x)fY(y)，因此X与Y不相互独立. (2分)
4. 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只
球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对.记X为总的配对数,
求E?X?.
(4)、 解 引入随机变量 Xi??易得
X?X1?X2???Xn P?Xi?0??1? E?Xi??1??1，第i号球放入第i号盒子， i=1,2,…,n. (2分)
其它?0,1,nP?Xi?1??1,ni?1,2,?,n （3分）
1ni?1,2,?n. （3分）
111?????1. （4分） nnnE?X??E?X1??E?X2????E?Xn??
最新课件 5 . 设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本, X的密度函数为
?(??1)x?,0?x?1,???1 f(x)??0,其它?求参数?的极大似然估计与矩法估计量.
??(5) 解 ??E(X)????xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1 (3分) ??2??1???2X?1 （３分） ??令 ??X则β的矩法估计量为 ???21?X??n??1??(??1)xi,(2) 构造似然函数为 L(?)??i?1?0?ni?10?xi?1,???1其它
则lnL(?)?nln(??1)?(??1)?lnxi (3分)
ndlnL(?)n???lnxi?0, 得?的极大似然估计量为 令
d???1i?1???1? ?n?lnxi?1n (3分)
i1 . 两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮，它们的命中率分别为20％，30％． 求(1)敌机至少中一弹的概率 (2)敌机恰中一弹的概率 解：
1、设两门分别炮命中敌机的事件各记为A1,A2
则P(A1)?0.2, P(A2)?0.3 (4分) (1) P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2)?0.44 （4分） (2）P(A1A2?A1A2)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)?0.38 (4分)
x?0?0?0.10?x?1?2 . 设随机变量X的分布函数为F(x)??
?0.61?x?4?x?4?1 求：（1）随机变量X的分布列； （2）D(X). 解：
最新课件 2、（1）X的分布列为 X P 0 0．1 2 1 0．5 2 4 0．4 （6分）
（2）D(X)?E(X)?[E(X)]?4.8 （6分）
3 . 设随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为
kx0?x?1,0?y?x f（x,y）＝???0其它 求：（1）求边缘分布密度涵数fX(x), fY(y) （2）问X、Y是否相互独立(需说明理由)． 解：
3、(1) fX(x)??????f(x,y)dy,fY(y)??????f(x,y)dx (2分)
当x?[0,1]时, fX(x)??1x0kxdy?kx2
当x?[0,1]时, fX(x)?0 (4分) 当y?[0,1]时, fY(y)? 当
?ykxdx?k(1?y2), 2y?[0,1]时, fY(y)?0 （4分）
（2）显然 f(x,y)?fX(x)fY(y)，因此X与Y不相互独立. (2分)
?2e?(x?2y),x?0,y?04 .设?X,Y?的分布密度为f(x,y)??，
其它?0,求Z?X?2Y的分布函数.
解：
4、令Z的分布函数为FZ(z)?P{Z?z}?P{X?2Y?z} （3分）
当z?0时，FZ(z)?0 （3分） 当z?0时， FZ(z)?2[0??zz?x20e?(x?2y)dy]dx?1?e?z?ze?z （4分）
z?0?1?e?z?ze?z FZ(z)?? （2分）
z?00?
5. 设总体X∽b(1，p),X1,X2,,Xn为X的一个样本，p未知. 求对每个
p?0?p?1?，n应取多大，才能保证EX?p??2?0.01.
最新课件
概率论计算题经典.doc
