高考数学一轮复习课后限时集训38空间向量的运算及应
用含解析理
课后限时集训(三十八)
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 C．异面
B．平行 D．相交但不垂直
→→
B [由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)， →→→→
∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线， →→
又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD.]
2．在空间直角坐标系中，A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，
z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则( )
A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0
→
A [∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0,1，→→
－1)，AC＝(－2,2,2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)．
→→→
∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，
x－1＝－2μ，??
∴?y－1＝λ＋2μ，??z＋2＝－λ＋2μ，
解得2x＋y＋z＝1，故选A.]
- 1 -
→→→
3．如图所示，三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，→→
用a，b，c表示NM，则NM＝( )
1
A.(－a＋b＋c) 21
B.(a＋b－c) 21
C.(a－b＋c) 21
D.(－a－b＋c) 2
1→→1→1→→1→1→1→1
B [NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋AB＝OA－OC＋(OB－OA)＝OA＋OB－OC＝(a＋b－
2222222
→
→
→
→
→
c)．]
4．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2,1，－1)，B(3,4，λ)，C(2,7,1)，→→
若AB⊥CB，则λ＝( )
A．3 C．±3
B．1 D．－3
→→→→→→
C [由题知，AB＝(1,3，λ＋1)，CB＝(1，－3，λ－1)，由AB⊥CB，可得AB·CB＝0，即1－9＋λ－1＝0，即λ＝9，λ＝±3，故选C.]
→→→→→→
5．已知正四面体A-BCD的棱长为1，且AE＝2EB，AF＝2FD，则EF·DC＝( ) 2A. 32C．－ 3
1B. 31D．－
3
2
2
→→→→→2→→→2→→2
D [因为AE＝2EB，AF＝2FD，所以EF∥BD，EF＝BD，即EF＝BD，则EF·DC＝BD·DC＝
3332→→2π1
|BD||DC|cos ＝－.故选D.] 333
二、填空题
- 1 -
6.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，
N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
→→→
垂直 [以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图→→11?11???略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0,1，，O?，，0?，N?，0，1?，AM·ON＝
2?22??2?
?0，1，1?·?0，－1，1?＝0，∴ON与AM垂直．]
??2?2?????
7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．
α∥β [设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，
→
由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z， →
由m·AC＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1， ∴m＝(1,1,1)，m＝－n， ∴m∥n，∴α∥β.]
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．
2或2 [∵AB与CD成60°角， →→
∴〈BA，CD〉＝60°或120°.
又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB， →∴|BD|＝
→＝＝
2
→
BD＝
→
→
2
2
2
→→→BA＋AC＋CD2
→→→→→→
BA＋AC＋CD＋2BA·AC＋2AC·CD＋2BA·CD →→
1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA，CD〉
- 1 -
＝
→→
3＋2cos〈BA，CD〉，
→
∴|BD|＝2或2.∴BD的长为2或2.] 三、解答题
→→
9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC. →
(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
→→
[解] (1)∵c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)， →
∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)， ∴|c|＝
－2m2
＋－m2
＋2m2
＝3|m|＝3，
∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又∵|a|＝1＋1＋0＝2， |b|＝
－1
22
2
2
＋0＋2＝5，
22
a·b－110
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
|a|·|b|1010
故向量a与向量b的夹角的余弦值为－
10
. 10
10.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，
F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：
(1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF.
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
- 1 -
∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)． (1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点， ∴PB∥EH.
∵PB?平面EFH，且EH?平面EFH， ∴PB∥平面EFH.
→→→
(2)PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，AF＝(0,1,1)， →→
∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， →→
PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴PD⊥AF，PD⊥AH.
又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.
B组 能力提升
1．若x，y∈R，有下列命题： ①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb； →→→
③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面； →→→
④若点P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB. 其中真命题的个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
B [①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；③正确；④中→→→
若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不正确．]
2.(2024·四川名校联考)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝
2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) 3
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高考数学一轮复习课后限时集训38空间向量的运算及应用含解析理
