最优控制 

最优控制

登月艇软着陆过程Matlab仿真 学号: 姓名: 指导老师:

日期:2014年5月19日

摘要:本文描述了登月艇简化模型，并对其登月过程做了简单介绍。因为这是控制登月艇软着陆和燃料最省问题，即是一个最优控制问题。所以对于该控制问题本文用极小值原理对登月艇控制推力进行求解。进而，依据登月艇模型和控制推力建立仿真模型。 关键词:最优控制 登月艇 极小值原理

1. 引言

最优控制问题可分为两类:静态最优化控制和动态最优化控制。最优控制就是要确定一组决策变量以使得某目标函数取极值。由于目标函数所依赖的决策变量不随时间变化，这类最优控制问题称为静态最优化控制或参数最优化;如果目标函数所依赖的决策变量是时间的函数，则称为动态最优化控制。所以，静态最优化控制是不考虑时间因素的最优控制，而动态最优控制是考虑时间因素的最优控制。它们的解决方法也不同。解静态最优化控制的方法有线性规划、非线性规划、爬山法和优选法等。解动态最优化控制的方法有变分法、极小值原理和动态规划等方法。本文介绍动态最优控制问题求解法——极小值原理。 2. 极小值原理

极小值原理也叫极大值原理，没有区别是一个意思。当指标泛函中被积分函数取L(X,u,t),L(X,u,t)JJ时，指标取极大值;当被积分函数取时，指标取极小值。二者是等价的。极大值原理是由庞特里亚金等人提出的。它是从变分法引申而来的，功能更强，应用范围更广，能解决变分法不能解决的问题。

u(t)当控制作用不受限制或限制在一个开区间时，可以用古典变分法来求解最优控制

u(t)问题。但是，当限制在闭区间上，或性能指标含绝对值形式时，变分法就不能胜任了。下面举个例子说明。

假设一阶受控系统: dx2 ,udt

x(0),1u,1允许控制域为，初始状态，终端状态x(t),3，求解控制系统从初始状态到f

tf

J,dt,t终端状态并使指标最小的最优控制。 f,0 2H,,u如用变分法求解时，构造Hamilton函数: ,H2，正则方程: x,,u,, ,H， ,,,,0,x

,,xxtHt(0),1,(),3,(),,,,1边界条件: fft,f ,H控制方程: ,2,u,0,u

*,,c由伴随方程可求得伴随变量，为常数。代入控制方程，则得 2cu,0,u,0c *，ux,0显然，这样求得不是最优控制。因为，状态不会转移。从直观上很容易看出，在允

2，x,u,1u,1许控制范围内，当取时，系统运动速度最大，即应用初始条件可得:

t,x(t),1,2ff

x(0),1这就是在上述控制约束下，使系统转移到的最短时间。最优控制为x(t),3f

*u,1u,1。为什么用变分法求不出来呢,问题出在实际最优控制落在区间约束边界上。

,H在边界上，它不再满足这个极值条件方程。在由些问题中，允许控制的集合甚至只,0,u

f(X,u,t)L(X,u,t)是控制空间中一些离散的点，对这样的问题，古典变分法对函数，的

,L可微性要求也很严格，特别是要求存在，在实际工程中往往不满足这个条件。例如在要,u

,L求燃料最省的最优控制系统。性能指标泛函中的函数要取控制的绝对值，此时就不Lu,u存在，变分法就不能求解。

f(X,u,t)L(X,u,t)极小值原理放宽了对函数和的要求。具体的假设前提条件是: ,f,L,,,f,Lf(X,u,t)L(X,u,t)1) 诸如函数、、、、、、,(X(t),t)、、ff,X(t),X,t,X,tf

,,存在并且连续。 ,tf

2) 控制为有界逐段连续函数。 u

,g,gii3) 当终端受限时，其约束g[X(t),t]及、是其定义上的连续函数，假定矩阵iff,t,xf

,g是满秩的，避免出现奇异情况。 ,X

对于初始状态给定，终端状态自由的系统利用极小值原理，可叙述成如下定理: ，对于给定系统 X,f(X,u,t) 在初始状态为 X(t),X00

u(t)终端时间t和终端状态X(t)自由的情况下，容许控制是分段连续的函数，其约束为ff

tfu(t),U 其中U为闭区间。性能指标函数为J,,[X(t),t]，L[X(t),u(t),t]dt 那么，ff,t0*J成为使性能指标函数取极小值的最优控制的必要条件是存在一个向量伴随函数u(t)

*，使得 ,(t)

,H,H**，，)和满足正则方程X,,, 1,(t),X(t),,,X, T其中为 HH(X,u,,,t),L(X,u,t)，,(t)f(X,u,t)

,,****(t),2)和满足端点条件， X(t),X,,(t)X(t)f00,X(t)f

*****3)Hamilton函数对最优控制有极小值 H(X,u,,,t),minH(X,u,,,t)u,U ,,*H(t),,4)对最优控制，Hamilton函数的终值为 f,tf3. 登月艇模型描述 h(t)u(t)v(t)假设登月艇的高度为，垂直速度为，月球重力加速度为，发动机推力为，g

m(t)登月艇质量为，不带燃料的登月艇的质量为，初始燃料总质量为,初始高度为，MFh00

初始速度为，则登月艇登陆模型如图1所示，并且其运动方程如下: v0 ，,h,,v

,，v,g,u/m (1) , ,，m,,ku,

k其中为推力比，是一个常数。若令状态变量为，则运动方程可以改x,h,x,v,x,m123

，x,,x,12,，写为:x,g,ux (2) /,23 ,，x,,ku3,

x(0)h(0)h,,,10,x(0)v(0)v,,初始条件为: (3) ,20 ,x(0)m(0)MF,,，30,

终端状态为:g(X),x(t),h(t),0,g(X),x(t),v(t),0 (4) 11ff22ff

0,u,uu发动机最大推力为，因此控制域为

燃料最省的指标函数为 J,,[X(t),t],,x(t),,m(t)ff3ff

可知这系统为定常非线性的，初始状态给定，终端受约束。其是一个终端受约束的最优控制问题。又知发动机推力取值是一个闭区间，因此不能用经典变分法求解。显然要用到极小值原理来求解系统最优控制方案。

图1 登月艇登陆模型

4. 极小值原理求解最优控制推力

发动机推力应如何控制才能使登月艇在月球上实现软着陆，并且消耗的燃料最省。通过上节分析利用极小值原理求解最优控制推力。

根据上面介绍的极小值原理，首先建立Hamilton函数: ,2H(x,u,,),,,x，,g,,,ku (5) 1223x3

伴随方程: ,H,，,0,,,,1 h,, H,,，,,,,,,,21 (6) v,, Hu,,,2，,,,,,3 2,mx,3,

伴随变量满足的边界条件:

2,,g,kj,,,t,，,(),,1fj1,x(t),x(t)j,11f1f, ,2,g,k,j,,,t,，,() (7) ,,2fj2,x(t),x(t)j,12f2f, ,2,g,kj,,(t),，,,,1,3fjxtxt,(),(),j,13f3f,

,2H(x,u,,),(,,x，,g),(，,k)uHamilton函数改写为: (8) 1223x3 *由极小值原理知，最优控制使H函数取极小值，因此有 u(t)