业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随
静力学解题方法3——图解法分析动态平衡问题
题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。
解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。
注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。 （2）正确判断力的变化方向及方向变化的范围。
（3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。
【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( ) A．增大 B．先减小，后增大 C．减小 D．先增大，后减小
解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大． 方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：
FABcos 60°＝FB Csin θ， FABsin 60°＋FB Ccos θ＝FB， 联立解得FBCsin(30°＋θ)＝FB/2，
显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．
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答案：B
变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β ＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是( )
A．F逐渐增大，T逐渐
减小，FN逐渐减小 B．F逐渐减小，T逐渐减小，FN逐渐增大 C．F逐渐增大，T先减小后增大，FN逐渐增大
D．F逐渐减小，T先减小后增大，FN逐渐减小
解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面 对球的支持力FN′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝FN″sinθ，则F 逐渐增大，水平面对斜面的支持力FN＝G＋FN″·cos θ，故FN逐渐增大． 答案：C
【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是( ) A．FN先减小，后增大 B．FN始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变
解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．
如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得 ，FN＝ G，F＝ G 式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小． 答案：B
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变式2－1如图2－4－5所示，两球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，球B用长为L的细绳悬于O点，球A固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成劲度系数为k2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2的大小之间的关系为( ) A．F1>F2 B．F1＝F2 C．F1 解析：两球间放劲度系数为k1的弹簧静止时， 小球B受力如右图所示，弹簧的弹力F与小球的重力G的合力与绳的拉力F1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA、OB均恒为L，因此F1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k2的弹簧后绳的拉力F2＝F1，B正确． 答案：B 【例3】如图1-31所示，竖直墙壁上固定一点电荷Ｑ，一个带同种电荷q的小球Ｐ，用绝缘细线悬挂，由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角，现因小球所带电荷缓慢减少，试分析悬线拉力的大小如何变化? [析与解]：分析小球受力情况，知其受重力G，线的拉力FT，点电荷Q的 A 排斥力F三力作用而平衡，用三角形定则作其受力图如图，当q逐渐减小 O O 30° 时，斥力逐渐减小，θ角逐渐减小，同时斥力F的方向也在变化，用图解 B 法不能判断F的大小变化情况，但注意到G//OQ，FT//OP，F沿QP方向， θ C P 所以力三角形跟几何三角形OPQ相似，由对应边的比例关系有FT/G=OP Q E /OQ ，即FT=OP.G/OQ因OP长、OQ长、重力G在过程中均不变， 图1---32 FT G 得悬线的拉力FT大小不变。 【例4】如图1---32所示，用细线AO、BO悬挂重物，BO水平，AO与竖直方向成30°角，若AO、OB能承受的最大拉力各为10N和6N，OC能承受足够大的力，为使细线不被拉断，重物允许的最大重力是多大？ ?解析?：设若逐渐增大重物重量时绳AO先断，由O点受力图易得：当FN150FA=10N时OB所受拉力为FB=5N﹤6N，假设正确，得此态OC的拉力0 F为FC= FAcos30°=53 N=8.66N，即重物允许的最大重力为8.66N。 G 【例5】如图2－4－8所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力) N2 业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随 解析：本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图示，列出平衡方程求解． 用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示． 由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力． F≤Fmax＝μFNB.由平衡条件有： 1对球有：GA＝FNcos 45°① FNA＝FNsin 45°② 2对三角劈有 FNB＝G＋FN′sin 45°③ F＝FN′cos 45°④ F≤μFNB，⑤ ∵FN＝FN′⑥ 由①～⑥式解得：GA≤ 答案：球的重力不得超过 G. G 练习题： 1．如图1--33所示，把球夹在竖直墙面和木板之间，不计摩擦，在将板逐 渐放至水平的过程中，墙对小球的弹力________， 板对小球的弹力_______。 α (填增大或减小或不变) 图1—33 2．如图1--34所示，半圆支架BAD，两细绳结于圆心O，下悬重 C 为G的物体，使OA固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位 A 置逐渐移至竖直位置C点的过程中，分析OA绳和OB绳所受的力的大 小如何变化? D O B 图1—34 业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随 4．如图1-36，重为10N的小球用长为L细绳系在竖直的墙壁上，细线延长线通过球心，小球受_______个力作用，画出其受力图；若小球半径r=L，绳对小球的拉力FT=______N,球对墙的压力FN=_______N,若将细绳增长,上述二力的变化情况是_____________________. 图1-36 5．如图1—37所示，物体重10N，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F作用在物体上，要使物体A静止于墙上，则F的取值是____________。 F 45° 图1—37 6．如图1—38所示，物块置于倾角为θ的斜面上，重为G，与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与斜面的动摩擦因数为μ=3/3，用水平外力F推物体，问当斜面的倾角变为多大时，无论外力怎样增大都不能使物体沿斜面向上运动? F θ 图1—38 例题： 练习： 1、减小，减小 2、F A一直减小FB先减后增 4、3，203/3，103/3，均变小 5、(202/3N?F? 202N) 6、?解析?：分析易知，F越大，θ越小，物体越容易上滑，可以先求出F无穷大时，物体刚好不能上滑的倾角临界值θ0，然后再取θ?θ 0，即为题目的答案。作出物体的受力图，将 Fcos?0力沿平行和垂直斜面两方向分解，有力的关系为：???Gsin?0?Ff?FN?Gcos?0?Fsin?0?F??Fn?f 解之得F=G(tg?0??)因F无穷大得1-μtgθo=0即 1??tg?0θo=arctg1 =60°所以当斜面倾角θ≥60°时，无论F多大，都不能使物体上滑。 ?
高中物理力学图解动态平衡
