第七章 测量误差的基本知识 第一节 测量误差的来源及其分类
一、测量误差的定义
观测对象客观存在的量，称为真值。每次观测所得的数值，称为观测值。设观测对象的真值为X，观测值为Li（i=1、2、……、n），则其差数
△i＝Li – X （i＝1、2、……、n） （7—1） 称为真误差。 二、测量误差的来源
在测量工作中，当对某一确定的量进行多次观测时，所测得的结果总是存在一些差异。例如，对某一段距离用钢卷尺进行往返丈量，两次丈量的结果往往是不一样的；又如数学上平面三角形三个内角之和应是180°，但用经纬仪观测三角形的三个内角，其和经常不等于180°。由此可见在测量工作中，各观测值之间或观测值与其真值之间总是存在着差异，产生这种差异的原因，是由于观测值中包含有测量误差，测量误差产生的主要原因有：所用的仪器和工具不尽完善；观测者感觉器官的鉴别能力有限，操作技术水平各有差别，观测方法也不能完美无缺；外界条件如温度、湿度、风向，风力、大气折光等因素在观测过程中随时发生变化。上述仪器、人、外界条件三方面的因素综合起来称为观测条件。观测条件相同的各次观测称为等精度观测。观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。不难想象，观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系，当观测条件好一些时，观测中所产生的误差一般说来就可能相应地小一些，反之，观测条件差一些时观测成果的质量就要低一些。所以，观测成果的质量高低也就客观地反映了观测条件的优劣。
在测量工作中，还可能产生错误。必须指出：误差和错误其性质是根本不同的，误差是不可避免的，而错误往往是由于测量工作人员的粗枝大叶造成的，在测量成果中是不允许存在的，本章研究的测量误差，显然不包括错误在内。 三、测量误差的分类
根据对观测成果影响的不同，测量误差可分为系统误差和偶然误差两种。 1．系统误差
在相同的观测条件下对某量进行多次观测，如果误差在大小和符号上按一定规律变化，或者保持常数，则这种误差称为系统误差。例如，用一把具有尺长误差为△L的钢卷尺量距时，每丈量一尺段就包含有△L的距离误差，丈量的距离愈长，所积累的误差
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也就愈大；又如水准仪校正不完善，水准管轴和视准轴不平行时，在水准测量中，距离愈长，水准尺上的读数与正确读数相差就愈大。这些都是由于仪器不完善而产生的误差，有时也可能由于温度和大气折光等的影响而产生系统误差。此外有些观测者在照准目标时，习惯把望远镜的十字丝照准目标中央的某一侧，也会使观测值带有系统误差。
系统误差对观测值有累积的影响，有时会相当显著。在测量工作中，必须掌握它的规律，设法消除或削弱它对观测成果的影响。如在量距前，对钢卷尺进行检定，求出尺长改正，对所量得的距离加入尺长改正数 即可消除尺长误差对所测距离的影响；对于水准管轴和视准轴不平行的误差，可以采用前后尺等距离的方法加以消除。总之，经过一定的观测手段或加改正数的方法，系统误差基本可以消除。 2．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，其误差在大小和符号上都具有偶然性，从表面上看，误差的大小和符号没有明显的规律，这种误差称为偶然误差。例如在水准测量读数时，对于毫米位的估读；在经纬仪测量中，用十字丝瞄准目标产生的瞄准误差；仪器受温度风力等外界条件的影响，对测量结果可能产生符号不同、大小不等的误差，这些都属于偶然误差。
在测量工作中，偶然误差是无法消除的，因此观测成果的精度与偶然误差有密切的关系。本章主要对偶然误差进行分析。
第二节 偶然误差的特性及算术平均值原理
一．偶然误差的特性
少数几个偶然误差的出现，好象没有什么规律性，但实践证明，大量的偶然误差呈现出一定的统计规律。例如，在相同的观测条件下，对174个三角形的全部内角进行了观测，由于观测值带有误差，各三角形内角和L不等于180°，真误差为△＝180°－L，现将误差按大小和正负分类列于表7—1。
表7-1 误差分布表
误差区间 （″） 1～10 10～20 20～30 个数 32 23 15 正误差 相对个数 0.184 0.132 0.086 个数 31 21 17 负误差 相对个数 0.178 0.121 0.098 1
30～40 40～50 50～60 60以上 和 11 5 2 0 88 0.063 0.029 0.012 0.000 0.506 11 4 2 0 86 0.063 0.023 0.011 0.000 0.494 为了更清晰地表达误差分布的情况，除了采用误差分布表的形式外，还可以利用图形来表达。如在图7－1中，横坐标表示误差出现的大小，纵坐标表示各区间内误差出现的相对个数除以区间的间隔值（此处间隔值均为10″），这样每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间的相对个数，如划有斜线长方条面积代表的相对个数为0.184，这种图称为直方分布图。当误差个数无限增加，而误差区间无限缩小时，图中各长方形顶边所形成的折线将变成一条光滑的曲线，这种曲线称为误差分布曲线，在数理统计中，称为正态分布曲线。
由表7-1和图7-1可以看出：（1）小误差出现的个数比大误差多。（2）绝对值相等的正负误差的相对个数基本相等；〔3〕最大误差不超过60″。
人们通过反复的实践和研究，总结出偶然误差具有如下特性： 1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值； 2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会多； 3、绝对值相等的正误差和负误差出现的机会几乎相等；
4、当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋向于零。即：
limn??????0
n式中n为观测次数，?????1??2????n
显然，第四个特性是由第三个特性导出的。第三个特性说明在大量的偶然误差中，正负误差有互相抵消的性能，因此当n无限增大时，真误差的简单平均值必然趋向于零。
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图7-1 直方分布图
如果在某组观测成果中，出现了个别的大误差，且超出了一定的限度，则根据特性1，可判断其属于错误，应该删去，并决定该次观测予以重测或补测。如果在一组测量误差中，正误差远比负误差多或少，由特性3可知：在这组误差中，可能存在明显的系统误差，应分析原因，设法消除系统误差的影响。特性4说明：在测量工作中，增加观测次数，可以减少偶然误差对测量成果的影响，所以在实际工作中为了提高观测的精度和进行校核，总是进行多次观测，当然，多次观测需要较长的时间，耗费较多的人力物力，其次在较长的时间内，观测条件容易发生变化，因此观测次数的选择适当与否，在一定程度上决定着观测成果的质量。 二．算术平均值原理
设对某个量X（真值）进行了n次等精度观测，得观测值L1、L2、…、Ln，则其算术平均值x为：
x?L1?L1???L1?L?? （7-2）
nn算术平均值原理认为：观测值的算术平均值是真值的最可靠值。推导如下：
?、?n分别表示L1、L2、……Ln的真误差，则 以?1、?2、?1?X?L1??2?X?L2?? ? （7-3）
???????n?X?Ln?? 将（7－3）各式相加：
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????nX?[L] （7-4）
式（7-4）两边同除以n：
????X?[L] （7-5）
nn将（7－2）式代入上式得：
x?X?[L] （7-6） n（7－6）式说明，观测值的算术平均值等于观测值的真值减去真误差的算术平均值。 由偶然误差特性4可知，当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零，此时观测值的算术平均值x将趋近于真值X。
但在实际工作中，对某一个量观测的次数总是有限的，因此，可以认为算术平均值是一个近似的真值，是一个比较可靠的结果，通常称它为真值的最或然值。
第三节 衡量精度的标准
研究测量误差的目的之一，就是衡量测量成果的精度。所谓精度，是指误差分布的密集或离散的程度。在一定的观测条件下对某一量进行一系列观测，它对应着一种确定不变的误差分布，图7－2是两种不同精度的误差分布曲线，从图7—2中可以看出，第一组的误差较集中于零的附近，曲线形状较为陡峭，我们说这一组误差分布较为密集；而第二组的误差对称于零分布的范围较宽，曲线形状较为平缓，我们说这一组误差分布较为离散。由此我们可以判断：前者观测质量较好，观测精度较高，后者观测质量较差，观测精度较低。但用误差曲线衡量精度的高低较为麻烦，只能得到一个定性的结论，测量学上一般应用中误差来衡量精度。
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图7-2 两种误差正态分布曲线的比较
一、中误差
设对一个未知量X进行多次等精度观测，其观测值为L1、L2、…、Ln，其真误差为
?1、?2、?、?n，我们取各个真误差平方和的平均值的平方根，定义为中误差m，即：
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07第七章-测量误差的基本知识(张)
