青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。
向量的解法总结
一、
基底法
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例1． 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若→DE＝λ1→AB
23＋λ2→AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
例 2． 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若→AC·→BE＝1，则AB的长为________．
例3.如图，在△ABC中，?BAC?120°，AB?2，AC?1，D是边BC上一点，
·BC? DC?2BD，则AD
二、
AB坐标法
，
=1，C．
（
．若|D．
（
D|＜，则|
|
C例4．在平面上，的取值范围是（ ） A． B．
（0，] （
，] ，] ，]
例5．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足恒有
A ． ∠ABC=90° 三、 模方法
则（ ） B． ∠BAC=90°
，且对于边AB上任一点P，
C． AB=AC D． AC=BC ．则∠C= ，
例6．△ABC内接于以O为圆心的圆，且cosA= ． 例7．（2013?浙江）设、
、
为单位向量，非零向量=x的最大值等于 ．
+y，x、y∈R．若
的夹角为30°，则
1
青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。
四、 数量积法
例8．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o. 如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC?xOA?yOB,其中x,y?R,则x?y 的最大值是________.
例9．在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，
，若
（O是△ABC的外心），则x1+x2的值为 ．
五、 几何法
例10．在△ABC中，若对任意k∈R，有|﹣k|≥||，则△ABC的形状是（ ）
A． 直角三角形 B． 等腰三角形
C． 等腰三角形或直角三角形 D． 等腰直角三角形
例11．已知，是单位向量，，若向量满足
，则的取值范围为（ ） A． B． C．
D．
例12．?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，则实数m=________
六、
面积法
例13．已知O是△ABC内一点，，则△AOB与△AOC的面积的比值
为 ．
七、 射影法
例14．已知P为△ABC的外心，且||=4，||=2，则?BC等于 ．
例15.已知O为△ABC的外心，的最大值为（ A．
B．
C．
D．
2
）
青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。
“四心”问题
1、重心——三角形的三条中线的交点； 2、垂心——三角形的三条垂线的交点；
3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）
根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等．
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： ① 设???0,???，则向量?(ABABABAB?ACACACAC)必平分∠BAC，该向量必过△ABC的内心;
② 设???0,???，则向量?(?)必平分∠BAC的邻补角
ACACcosC③ 设???0,???，则向量?(△ABC的垂心
ABABcosB?)必垂直于边BC，该向量必通过
④ △ABC中AB?AC一定过BC的中点，通过△ABC的重心 ⑤ 点O是△ABC的外心 ?OA?OB?OC ⑥ 点O是△ABC的重心 ?OA?OB?OC?0
⑦ 点O是△ABC的垂心 ? OA?OB?OB?OC?OC?OA
222?OA?BC?OB?CA?OC?AB
⑧ 点O是△ABC的内心 ?a?OA?b?OB?c?OC?0 (其中a、b、c为△ABC三
边)
?OA?(AB|AB|?AC|AC|)?OB?(BA|BA|?BC|BC|)?OC?(CA|CA|?CB|CB|)?0
222222⑨ 设O为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，
XA+XB+XCYA+YB+YC1则有OG?(OA?OB?OC) 并且重心G（ ， ）
333例1 已知O是平面上一 定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
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青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。
例2 P是△ABC所在平面上一点，若的（ ）.
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
，则P是△ABC
，则动点P一定过△ABC的〔 〕.
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 四、 外心问题
例4 已知O是△ABC内的一点，若
，则O是△ABC的〔 〕.
A．重心 B.垂心 C.外心 D.内心
练习
1：已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足
OA?BC?OB?CA?OC?AB，则点O是三角形ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
2：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足OP?OA??(222222ABABcosB?ACACcosC)，???0,???，则动点P的轨迹一
定通过△ABC的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
3、已知向量OP|OP1,OP2,OP3满足条件OP1?OP2?OP3?0，1|?|OP2|?|OP3|?1，求证：△PP12P3是正三角形．
4、?ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，则实数m = ．
4
青，取之于蓝而青于蓝；冰，水为之而寒于水。
平面向量常见习题汇总：
11.（2020?北京卷）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP?(AB?AC)，则
2|PD|?_________；PB?PD?_________．（建系）
2.（2020?全国1卷）设a,b为单位向量，且|a?b|?1，则|a?b|?______________.
（模方）
3.（2020?全国2卷）已知单位向量a,b的夹角为45°，ka?b与a垂直，则k=________（垂直）
|b|?6，（2020?全国3卷）4.b满足|a|?5，a?b??6，已知向量a，则cosa,a?b=_____
（夹角）
?????5.（2020?江苏卷）在△ABC中，AB?4，AC?3，∠BAC=90?，D在边BC上，延长AD
（相到P，使得AP=9，若PA?mPB?(?m)PC（m为常数），则CD的长度是______．交问题运用向量共线定理）
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平面向量七种解法及四心问题及常见题型汇总 - 图文
