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2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题，共150分，共5页。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A.
B.
C.
D.
2.已知集合A=｛（x，y）｜x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为 A.9 B.8 C.5 D.4
3.函数f（x）=e 2-e-x/x 2的图像大致为 A.
B.
C.
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D.
4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）= A.4 B.3 C.2 D.0
5.双曲线x 2/a 2-y 2/b 2=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为 A.y=±6.在A.4
x B.y=±中，cos B.
+
-=
x C.y=±
D.y=±
，则其渐进线方程为
，BC=1，AC=5，则AB=
D.2-
C. +…+
7.为计算s=1-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入
D.i=i+4
得了世界领先的成果。哥德巴赫猜和”，如30=7+23，在不超过30的概率是
A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的
A.
B.
C.
D.
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与
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DB1所成角的余弦值为
A.
B.
10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是 A.
B.
C.
D. π
11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=
A.-50 B.0 C.2 D.50 12.已知F1，F2是椭圆C:
=1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为 A..
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为________。 14.若x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为_________。
15.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________。 16.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为为
,则该圆锥的侧面积为________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S1=-15。 （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值。
18.（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图
，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积
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为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型。根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。
19.（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k>0）的直线l与C交于A，B两点，| AB|=8。 （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。
20.（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值。
，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点。
根据2010年至2016=-30.4+13.5t；
=99+17.5t。
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
21、（12分）已经函数f（x）=ex-ax2。
（1）若a=1，证明：当x≥ 0时，f（x）≥ 1； （2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a。
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22、[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数）。
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率。
（ θ 为参数），直线l的参数方程为，
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23：[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数f（x）=5-| x+a|-| x-2|。
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥ 0的解集； （2）若f（x）≤ 1时，求a的取值范围。 参考答案: 一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 13.y?2x
14.9
15.?1 216.402π
三、解答题 17. (12分)
解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15.
由a1??7得d=2.
所以{an}的通项公式为an?2n?9.
22（2）由（1）得Sn?n?8n?(n?4)?16.
所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为?16.
18.(12分)
解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
???30.4?13.5?19?226.1(亿元). y利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
??99?17.5?9?256.5(亿元). y（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值y更可靠.学.科网
（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0).
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0. ?y?4x2k2?42??16k?16?0，故x1?x2?.
k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?. 2k4k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1. k2因此l的方程为y?x?1.
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则
2018年度高考全国卷2理科数学精选题（含规范标准答案内容）
