二次函数与四边形综合专题
一．二次函数与四边形的形状
例1. 如图，抛物线y?x2?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3∴A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入
y?x2?2x?3 得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析
式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为： A P（x，-x-1），E（(x,x2?2x?3)
∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2
19时，PE的最大值= 24∴当x?（3）存在4个这样的点F，分别是F1(1,0),F2(?3,0),F3(4?7，0),F4(4?7,0)
练习1.如图，对称轴为直线x?7的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）． 2（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
练
B(0,4) F O E 故抛725(,?). 26习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x?7y?a(x?)2?k．把A、B两点坐标代
272?a(6?)?k?0,? 解之，得?2??a(0?7)2?k?4.??27，可设解析式为2入上式，得 A(6,0B(0,F O E A(6,225a?,k??.
36物线解析式为y?2(x?7)2?25，顶点为
326（2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
2725(x?)2?，∴y<0，即 －y>0,－y326y?表示点E到OA的距离．
∵OA是OEAF的对角线，
∴S?2SOAE?2?1?OA?y??6y??4(?7)2?25．
22因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是1＜x＜6．
①根据题意，当S = 24时，即?4(x?7)2?25?24．化简，得(x?7)2?1. 解之，得
224x1?3,x2?4.故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．
点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF是菱形；
点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形．
②
当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．而坐标为
（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使OEAF为正方形．
练习2.如图，已知与x轴交于点A(1，0)和B(5，0)的抛物线l1的顶点为C(3，4)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C?．
（1）求抛物线l2的函数关系式；
4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运（2）已知原点O，定点D(0，动到何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 5 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5 5 5 4 3 2 1 练习3. 如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(?4，8)． 0)，B(?2，0)，E(0，（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；
（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
例1.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x … -3 -2 1 2 … y … - 52-4 - 520 … (1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
练习1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点
图10
M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）； （2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时
m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子．动点P，Q同时从点A出发，点P沿
B P A B
C O Q P O
D C
A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停
止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm2．
A
Q D
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