带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）
1.带电粒子在磁场中的运动
（1） 带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即
①5 i
=
\为静止状态。
②id』 吃 ＞：则粒子做匀速直线运动。
（2） 若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。 （3） 若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感
线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。
二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动
1. 运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动. 2. 其特征方程为：F洛=F 向. 3. 三个基本公式：
V2
（1）向心力公式：qvB= mR;
（2）半径公式: mv
qB
（3）周期和频率公式：；
T = 错=J;
⑷运动时间：
1 =二丁 = ’乞@用弧度作单位）
L t -2兀
2兀 qB qB
v
1. 只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动. 2.
带电粒子做匀速圆周运动的半径
与带电粒子进入磁场时速率的大小有关， 而周期与速率、半径都无关.
（一）边界举例：
（）
1、 直线边界（进出磁场有对称性）
规律：如 从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速 度与边界
的夹角相等。
速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半， 并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。
2、 平行边界（往往有临界和极值问题）
（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界） 3、 矩形边界
磁场区域为正方形，从 a点沿ab方向垂直射入匀强磁场： l若从c点射出，则圆心在 d处
［若从d点射出，则圆心在 ad连线中点处 4. 圆形边界
（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。 ）
特殊情形：在圆形磁场内，沿径向射入时，必沿径向射出 一般情形：磁场圆心0和运动轨迹圆心 0'都在入射点和出射点连
线AB的中垂线上。或者说两圆心连线 00 '与两个交点的连线 AB垂直。 （二）求解步骤：
（1）定圆心、（2）连半径、（3）画轨迹、（4）作三角形.（5）据半径公式求半径,
1
再解三角形求其它量；或据三角形求半径，再据半径公式求其它量（ 1确定圆心的常用方法：
6）求时间
（1）已知入射方向和出射方向（两点两方向）时，可以作通过入射点和出射点作垂直于入射方向 和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如图 射点，M为出射点，0为轨道圆心.
⑵已知入射方向和出射点的位置时 （两点一方向）,可以通过入射点
作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就 是圆弧轨道的圆心，如图 3-6-6乙所示，P为入射点，M为出射点，0为轨 道圆心.
⑶两条弦的中垂线（三点）:如图3- 6-7所示，带电粒子在匀强磁 场中分别经过 0、A、B三点时，其圆心 0在0A、0B的中垂线的交点上. ⑷已知入射点、入射方向和圆周的一条切线： 延长
3- 6-6甲所示，P为入
. '「' :::
如图3 — 6 — 8所示，过入射点 A做v垂线A0, 的角平分线交A0于0点，0点即为圆心，求
v线与切线CD交于C点，做/ ACD 解临界问题常用到此法.
（5）已知入射点，入射速度方向和半径大小
2?求半径的常用方法
由于已知条件的不同，求半径有两种方法：一是：利
用向心力公式求半径；二是：利用平面几何知识
）
求半径。（一般构建直角三角形，利用勾股定理或几何关系求半径 其中，利用三角函数知识解题往往要结合两个有用的结论： 1、圆心角（a ）等于速度的偏向角（0 ） 求半径方法示例:
2、圆心角等于弦切角的两倍
a R2 =L2 +(R d)2 d —sin LAR R日 -2si n 日 2）利用圆心角等于速度偏向 3、确定圆心角的方法：（1）利用圆心角等于弦切角的两倍（
角（3）四边形内角和为 360°（ 4） N边形的内角和为（N-2）x180 4、运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为
1___2_| T,当粒子转过的圆心角为
a时，其运动时间为:
t 0T （a以“度”为单位）
360 t T （ a以“弧度”为单位）
2 ■:
或：t=L/v （ L为弧长）
（三）、多解问题
带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题有时要考虑多解。 1. 带电粒子电性不确定
2. 磁场方向不确定 3?临界状态不惟一 4、初始条件不确定
形成多解的原因有:
2
5. 运动的重复性
（四）、临界与极值问题
形成原因：
1?入射点不确定引起的临界问题。 2?出射点不确定引起的临界问题。
3?入射速度方向确定、大小不确定，从而使得轨迹多样，并且出射点不确定，弓I起的临界问题。 4?入射速度大小确定，方向不确定，从而引起的临界问题 （五）常用策略： ------- 三种重要的模型
模型1:缩放圆：（入射点确定）速度方向确定，大小不确定 模型2:旋转圆：（入射点确定）速度大小确定，方向不确定 模型3:平移圆：速度大小、方向确定，入射点不确定
三.带电粒子在复合场中的运动
1 ?复合场：指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在
分为如下四种情况：① 相邻场；② 重叠场；③ 交替场；④ 交变场. 2 .带电粒子在复合场中的运动分类：
① 静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受 ____________________ 为
② 匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力 ______________ 相
，从场的复合形式上一般可
零时，将处于静止状态或做匀速直线运动；
等， _______ 相反时，带电粒子在 _____________力的作用下，在垂直于 _______________ 的平面内做匀速圆周运 动；③ 一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直 线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线；④
电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，运动情况随区域发生变化，运动过程由几种不同的
分阶段运动：带
运动阶段组成.
3. 电场磁场同区域应用实例（速度选择器模型）
⑴ 速度选择器：原理图如图所示，平行板中电场强度
E和磁感应强度 B互相垂 qE = qvoB,即Vo = __________ . 丄 B是发电机 ______ 极.磁流体
B,则
直.这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器.带 电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是
⑵ 磁流体发电机： 原理图如图所示，磁流体发电是一项新兴技术，它可以把内 能直接转化为电能.根据左手定则，如图中的 发电机两极板间的距离为 两极板间能达到的最大电势差
I，等离子体速度为 v,磁场磁感应强度为
U=________ .电源电阻r = p I/S,外电阻R
中的电流可由闭合电路欧姆定律求出，即
I = E/（ R+ r） = BIvS/（ RS+p I ）.
d,用非磁性材料制成，
，在洛
零高子体束
⑶ 电磁流量计：原理图如图所示，圆形导管直径为
导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷（正、负离子） 伦兹力的作用下横向偏转，
a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷
a、b间的电势差就保持稳定，即：
qvB
a x x
所受的电场力和洛伦兹力平衡时，
=qE = ql/ D 所以v = ___________ ，因此液体流量所以 Q= vS = _______________ .
h x x
⑷ 霍尔效应：原理图如图所示，在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流导 体，当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与磁场、电流方向都垂直的方
3
向上出现了电势差，这种现象称为霍尔效应.所产生的电势差称为霍尔电势差.当达到稳定状态时, 都存在电场力和洛伦兹力平衡的关系，即
4.电场和磁场分区域存在的实例 (1) ?质谱仪
组成：离子源0,加速场U，速度选择器(E, B),偏转场B2，胶片。 原理：加速场中qU=mv2/2 E V 二——
选择器中： E、
偏转场中：d= 2r, qvB2= mv2/r
ql/d = qvB,霍尔电势差 U = _______________ .
q 2S
■—' =-
比荷：厂片心「
m = -------
质量
作用：主要用于测量粒子的质量、比荷、研究同位素。 (2).回旋加速器
组成：两个D形盒，大型电磁铁，高频振荡交变电压，两缝间可形成电压 作用：电场用来对粒子(质子、氛核，
U
a粒子等)加速，磁场用来使粒子回旋从而
能反复加速?高能粒子是研究微观物理的重要手段。
要求：粒子在磁场中做圆周运动的周期等于交变电源的变化周期. 关于回旋加速器的几个问题：
(1) D形盒作用：静电屏蔽，使带电粒子在圆周运动过程中只处在磁场中而不受电
场的干扰，以保证粒子做匀速圆周运动。
/丄型
(2)
的频率 f =带电粒子做匀速圆周运动的频率：
所加交变电压：，.汁
_ 1 t_『即卅
(3 )最后使粒子得到的能量，_
.*
,
R越大，
在粒子电量、质量 m和磁感应强度B 一定的情况下，回旋加速器的半径 粒子的能量就 越大。
【注意】直线加速器的主要特征。如图所示，直线加速器是使粒子在一条直线装置上被加速。
5、外切圆与内切圆问题
1、 从同一点垂直匀强磁场射入的两个粒子，在入射点处轨迹相切，过切点的两个半径一定共线
如果带同种电荷 ——入射速度方向相同，轨迹内切；入射速度方向相反，轨迹外切； 如果带异种电荷 —入射速度方向相反，轨迹内切；入射速度方向相同，轨迹外切；
2、 同一粒子先后进入相邻两磁场时，在交界点处，轨迹相切。半径共线
磁场同向时，轨迹内切 磁场反向时，轨迹外切
二、旋转圆法
在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是围绕发
射点旋转的半径相同的动态圆(如图
7),用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。
4
图-?
例3.如图8所示，S为电子源，它在纸面 360°度范围内发射速度大小为 电子（q<0）, MN是一块足够大的竖直挡板，与
vo,质量为m电量为q的
L,挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁
S的水平距离为
场，磁感应强度大小为 mv/qL,求挡板被电子击中的范围为多大？
Q
解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕 圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图 切时的交点P,最低点为动态圆与 MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在由洛仑兹力提供向心力，由厂=1 得「
S点旋转的动态圆，且动态圆的每一个
9所示，最高点为动态圆与 MN的相
SQ为直径，则：SQ：2L, SO=L，由几何关系得:
OQ = ^-O^
P为切点，所以OP= L，所以粒子能击中的范围为 1 :蔦；
三、缩放圆法
带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作 半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。
圆周运动的 12），利用
例5.如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为 B,宽度为d, —电子 直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为
0，已知电子的质量为 m
0-12
从左边界垂 电量为e,要
使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。
5
带电粒子在匀强磁场中的运动知识小结
