四年级下册数学竞赛试题：计数综合 乘法原理（B级）全国通用

乘法原理

考试要求

（1） 懂得并运用加法乘法原理来解决问题，

（2） 掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题

知识结构

一、 乘法原理

我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.

乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法 ，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一．．．．．．．．．．不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”. ．．．

二、 乘法原理解题三部曲

1、完成一件事分N个必要步骤；

2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； 3、步步相乘

三、 乘法原理的考题类型

1、路线种类问题——比如说从A地到B地有三种交通方式，从B地到C地有2种交通方式，问从A地到C地有多少种乘车方案；

2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；

3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；

4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；

5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．

重难点

（1） 掌握加法乘法原理 （2） 熟练运用加乘方法 （3） 解决加乘及计数综合性题目

例题精讲

【例 1】 联欢会上有一则数字谜语，谜底是一个八位数。现已猜出：□54□7□39，主持人提示：“这个无重

复数字的八位数中，最小的数是2。”要猜出这个谜语，最多还要猜 次。

【巩固】 在右面每个方格中各放1枚围棋子(黑子或白子)，有（ ）种放法．

【例 2】 用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213是第几

个数？

【巩固】 有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字和等于12.将所有这

样的四位数从小到大依次排列，第35个为 ．

【例 3】 将1332，332，32，2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数

码，共有多少种不同的划法？

【巩固】 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一

个三位数，例如：532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉．问：能吃掉678的三位数共有多少个？

【例 4】 电子表用11:35表示11点35分，用06:05表示6点5分，那么2点到10点之间电子表中出现无

重复数字的时刻有________次．

【巩固】 一种电子表在8时31分25秒时显示为8：3125，那么从7时到8时这段时间里，此表的5个数字

都不相同的时刻一共有______个。

【例 5】 北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站(不包括北京、广州)，从大站出发的车辆可

以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？

【巩固】 北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种)

【例 6】 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目．问：⑴ 如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种

不同的安排顺序? ⑵ 如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同

的安排顺序?

【巩固】 新年联欢会共有8个节目，其中有3个非歌唱类节目。排列节目单时规定，非歌唱类节目不相邻，而且

第一个和最后一个节目都是歌唱类节目。则节目单可有 种不同的排法。

【例 7】 爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况，问共有多少种不同的入

座方法?

【巩固】 3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种

排法？(如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种．)

【例 8】 地图上有A，B，C，D四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的

颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

ACBD

【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色

都必须要用，问有多少种染色方法？

【例 9】 如图，地图上有A，B，C，D四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相

同，有多少种不同染色方法?

ABCD

【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A，B，C，D，E，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，

要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？

ABDCE

【例 10】 用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同

的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）

【巩固】 用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面

上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？