专题14 运用函数的图像研零点问题
一、题型选讲
题型一： 运用函数图像判断函数零点个数
可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上
?2?x,2?x?3则函数y?f(x)?logx的零点的个数为 f(x)??5x?4,3?x?4?【答案】 5
【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出数f(x)在区间[2，4)上的图像，
函根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.
解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．
??x＜1，例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝?lnx
，x??x≥1，
2
1
－1，2x
1
)则函数y＝|f(x)|－的零点个数为________．
8
【答案】 4
x－lnx·2x1－2lnxlnx
【解析】设g(x)＝2，则由g′(x)＝＝＝0，可得x＝e，所以g(x)在(1，e)上单调递增，
xx4x3 12 / 12
11
在(e，＋∞)上单调递减，当x→＋∞时，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值为g(e)＝＞.在同一平
2e81
面直角坐标系中画出y＝|f(x)|与y＝的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．
8
易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x轴．
题型二 运用函数图像研究复合函数零点个数
复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g??f?x????0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f?x?的方程，观察有几个f?x?的值使得等式成立；第二层是结合着第一层f?x?的值求出每一个f?x?被几个x对应，将x的个数汇总后即为g??f?x????0的根的个数
例3、(2017南通期末） 已知函数f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝
?1－|2x－3|，1≤x<2，1??1f?
x?， x≥2，?2??2?
【答案】11 【解析】
则函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．
3
2x－2，1≤x≤，??2
解法1 由题意得当1≤x<2时，f(x)＝?3
4－2x， 又f(x)＝n－1f?n－1x?， 2?2? 设x∈[2 n－1,n2)(n∈N)，则n－1∈[1,2)， 2 * x1x?3?1?1?1??n－1,n－2 ①当n－1∈?1，?时，则x∈[23·2]，所以f(x)＝n－1f?n－1x?＝n－1?2·n－1x－2?，所以2xf(x) 22?2??2?2?2?11??2n－22n－4n－2n－2 －3＝2x·n－1?2·n－1x－2?－3＝0，整理得x－2·2x－3·2＝0.解得x＝3·2或x＝－2.由于x2?2? 12 / 12 ∈[2 n－1, 3·2 n－2 ]，所以x＝3·2 n－2 ； 1?x?3?1?1?1?n－2,n②当n－1∈?，2?时，则x∈(3·22)，所以f(x)＝n－1f?n－1x?＝n－1?4－2·n－1x?，所以2xf(x)－3 222?2??2?2??2x?1?2n－22n－4n－2n－2n－2,n＝2x·n－1?4－n－1?－3＝0，整理得x－4·2x＋3·2＝0.解得x＝3·2或x＝2.由于x∈(3·22)， 2?2?所以无解． 综上所述，x＝3·2上零点的个数是11. 解法2 由题意得当x∈[2＝ n－1,nn－2 .由x＝3·2 n－2 ∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015) 1?1??3n－1?1 2)时，因为f(x)＝n－1·f?n－1x?，所以f(x)max＝f?·2?＝n－1.令g(x) 2?2??2?2 33n－13n－1?3n－1?1n－1,n.当x＝·2时，g(x)＝g?·2?＝n－1，所以当x∈[22)时，x＝·2为y＝2xf(x)－3的一个2x22?2?2 零点． 下面证明：当x∈[2当x∈[2 1, n－1,n2)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点． n－2 n－1, 3·2 n－2 ]时，y＝f(x)单调递增，y＝g(x)单调递减，f(3·2 n－2 )＝g(3·2 n－2 )，所以x∈[2 n－ 3·2 n－2 ]时，有一零点x＝3·23 3 ；当x∈(3·2 n－2,n2)时，y＝f(x)＝3? 12 n－1 1?x?k＝f′(x)＝－1， －n－1?n－2－3?，12n－3 2?22? n－2n－2 g(x)＝，k2＝g′(x)＝－2∈?－)＝g(3·2)，所以当x2n－3，－2n＋1?，所以k1 2?2x2x?3·2 ? 1 ∈[2 n－1,n2)时，y＝2xf(x)－3只有一个零点．由x＝3·2 n－2 ∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－ 3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 33n－2 解法3 分别作出函数y＝f(x)与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·2 2x2处取得．由x＝3·211. n－2 ∈(1,2 015)，得n≤11，所以函数y＝2xf(x)－3在区间(1,2 015)上零点的个数是 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。 x＋2??，x≤0， x＋1例4、(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)＝?若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只??|lnx|，x>0， 12 / 12
2020届新高考数学二轮微专题突破专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
