第1-4章复习题
1、虚指数序列 x[k]= ejωk 不一定为周期序列；而连续虚指数信号x(t)= ejωt必是周期信号。
2、线性卷积y[k]?n????x[n]h[k?n]
?例题： x[k]非零范围为N1? k ? N2，h[k]的非零范围为N3? k? N4，求：y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。
解答：N1+N3? k ? N2+N4
解析：两个序列卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于两个序列的长度之和减1。 3、互相关r[n]?xyk?????x[k]y[k?n]，自相关r[n]?xk????x[k]x[k?n]
?rxy[n]=x[-n] * y[n] rx[n]= x[-n] * x[n] 4、离散LTI系统因果性：h[k]=0，k<0 离散LTI系统稳定性：5、DTFT：X(ej?)?IDTFT：x[k]?1?k????h[k]?S??
?k????x[k]e?2π??j?k
2π?X(ej?)ej?kd?
?6、已知x[k]为一有限长序列且x[k]?{2,1,?1,0,3,2,0,?3,?4}，不计算x[k]的DTFT X(ejω)，试直接确定下列表达式的值。 （1）X(ej0)?k??2?x[k]?0
6k??26（2）X(ejπ)??(?1)kx[k]?0 （3）?X(ej?)d??2πx[0]??2π
?πππ（4）（5）
???ππX(e)d??2π?x[k]?88π
j?22k??26dX(e)d??2π?k2x2[k]?1780π d?k??2j?26?πLTI7、单频信号通过LTI系统的响应 ej?k???ej?kH(ej?)
8、系统稳态响应ysr[k]?H(ej?)ejk?
例题：设系统的初始状态为零，试确定输入信号为x[k]=cos(πk)u[k]，
h[k]??[k]?2?[k?2]??[k?4]时，系统的稳态响应。
解答：系统的频率响应H(ej?)?1?2e?2j??e?4j??4e?2j?cos2? 由已知???，所以H(ej?)?4e?2?jcos2??4 根据系统稳态响应定义ysr[k]?H(ej?)ejk? 所以，ysr[k]?H(ej?)ejk??4cos(?k)
9、LTI系统稳定的充要条件：?h[k]???H(z)的收敛域ROC包含单位圆。
k????因果系统H(z)的极点位于z平面单位圆内时，系统稳定。 例题：已知一离散LTI系统的系统函数为H(z)?因果性。
? |z|>3系统不稳定、因果，h[k]?(?2k?1?3k?1)u[k]
? 2<|z|<3系统不稳定、非因果，h[k]??2k?1u[k]?3k?1u[?k?1] ? |z|<2系统稳定、非因果，h[k]?2k?1u[?k?1]?3k?1u[?k?1] 10、简单数字滤波器
一阶FIR低通数字滤波器HLP1(z)?0.5(1?z?1)
HLP1(ej?)?0.5z?1，HLP1(ej0)?1，HLP1(ejπ)?0。 zz?ej?121判断系统的稳定性和
(1?2z?1)(1?3z?1)一阶FIR高通数字滤波器HHP1(z)?(1?z?1)
HHP1(ej?)?0.5z?1，HHP1(ej0)?0，HHP1(ejπ)?1。 zz?ej?z?1?d?11、一阶复系数全通滤波器A1(z)?
1?dz?1最小相位系统Hmin(z)：零极点都在z平面单位圆内的因果系统称为最小相位系统。等价于零点都在z平面单位圆内的稳定因果系统称为最小相位系统。 12、任一实系数因果稳定系统的H(z)都可表示为H(z)?Hmin(z)Am(z)
b?z?1,a?1,b?1 例题：一实系数因果稳定系统的系统函数H(z)为H(z)?1?az?1解答：由于系统的零点为z = -1/b，故不是一最小相位系统。
b?z?11?bz?11?bz?1z?1?bH(z)??
1?az?11?bz?11?az?11?bz?1与H(z)具有相同幅度响应的最小相位系统为
1?bz?1Hmin(z)? ?11?az13、利用数字系统处理模拟信号，A/D，D/A转换，考察各步输出的频谱。
x(t)A/Dx[k]h[k]y[k]A/Dy(t)TTN?1?j2πmkN
14、DFT：X[m]??x[k]?em?0,m?0,1,2,L,N?1
2πjmk1N?1IDFT：x[k]??X[m]?eN,k?0,1,2,L,N?1
Nm?015、引入DFT的意义？
16、利用DFT分析连续非周期信号的频谱
17、X[m]?DFT{x[k] }?X(e)j???2πmN,m?0,1,2,L,N?1
有限长序列x[k]离散傅里叶变换X[m]是其离散时间傅里叶变换X(ejω)在一个周期[0,2p]的等间隔抽样。 18、X[m]?N?1k?0?j2πmkN?x[k]?e%?X[m]?RN[m]
DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对。 19、DFT性质
线性特性DFT?ax1[k]?bx2[k]??aDFT?x1[k]??bDFT?x2[k]? 循环位移y[k]?x[(k?n)N]RN[k]
时域循环位移对应频域相移 DFT?x[(k?n)N]RN[k]??X[m]WN?mn
时域相移对应频域循环位移 DFTWNx[k]?X[(m?l)N]RN[m] 周期共轭对称x[k]?x*[(?k)N]RN[k]?x*[N?k]
时域共轭对应DFT频域周期共轭 DFT{x[k]}?X[(?m)N]RN[m]?X[N?m] 时域周期共轭对应DFT频域共轭 DFT{x[(?k)N]RN[k]}?X[m]
例题：已知一9点实序列的DFT在偶数点的值为X[0]=3.1,X[2]=2.5+4.6j, X[4]=-1.7+5.2j, X[6]=9.3+6.3j,X[8]=5.5-8.0j。确定DFT在奇数点的值。 解答：根据实序列DFT的对称特性X[m]=X *[N-m]可得，
X[1]=X*[9-1]= X*[8]= 5.5+8.0j; X[3]=X*[9-3]= X*[6]= 9.3-6.3j； X[5]=X*[9-5]= X*[4]= -1.7-5.2j; X[7]=X*[9-7]= X*[2]= 2.5-4.6j。
20、计算有限长序列线性卷积、循环卷积的方法 21、利用DFT计算序列线性卷积的步骤
解答：若x1[k]的长度为N， x2[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于x1[k] 与x2[k]的线性卷积。
??????lk?x1[k]补L?N个零x1L[k]L点DFTy[k]L点IDFTx2[k]补L?M个零x2L[k]L点DFT
x1L[k]?x2L[k]?x1[k]?x2[k]
22、利用DFT对连续非周期信号的频谱进行分析的意义？在近似分析过程中一般会出现哪些现象（混叠、频率泄漏、栅栏）？如何解决？ 23、解决频谱混叠主要有两种方法：
(1)带限信号，减小抽样间隔，使之满足时域抽样定理； (2)非带限信号，用抗混叠滤波器限制信号频带。 24、重排序
X(j??AA/TX[m]2?/NmX(ej????????? 当0?m?N2?1，X[m]对应X(j?)的频率点
??m??m?
???samNm(或f?fsamNm),m?0,1,L,?1的抽样点。 N2fsamNN（m-N)),m?,?1,LN?1的抽样点。 N22当N2?m?N?1，X[m]对应X(j?)的频率点
???samN?m?N?(或f?例题：已知语音信号x(t)的最高频率为fm=3.4kHz, 用fsam=8kHz对x(t)进行抽样。如对抽样信号做N=1600点的DFT，试确定X[m]中m=600和m=1200点所分别对应原连续信号的连续频谱点f1和f2 (kHz)。 解答：X[m] 与X(jω)存在以下对应关系： 当m=600时，由于0?m?(N/2-1)，所以
f1?fsam8m??600kHz?3kHz N1600fsam8(m?N)??(1200?1600)kHz??2kHz N1600当m=1200时，由于N/2?m?N-1，所以
f2?25、如果连续信号x(t)在时域无限长，则离散化后的序列x[k]也为无限长，无法适用
数字信号复习提纲
