中学数学建模中的最值问题
甘肃成县索池学区 台占青
引导学生在掌握一定数学知识的基础上，收集、整理、描述信息、建立模型，进而解决问题，培养学生发现规律、探究模式的能力，已成为人们学习数学、应用数学、发展数学的重要策略。以下通过举例介绍如何建立数学模型求解最值问题： —、如何运用几何知识求最值 1、利用两点之间线段最短求最值
例1、已知点A、B在直线MN的两侧（图1）在MN上求一点P，使得｜ＰＡ－ＰＢ｜最小。
A
解：作点Ａ关于ＭＮ的对称点Ａˊ，
P 连接Ｂ、Ａˊ并延长交ＭＮ于点Ｐ， 点Ｐ即为所求点。
M N A’
B 图1 ２、利用三角形中两边之和大于第三边求最值。
例2：如图2，在正方形ABCD中，E在BC上，ＢＥ＝２，ＥＣ＝１，Ｐ在ＢＤ上，、求ＰＥ、PC长度之和的最小值。
解：连接PA、PE
∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， BD为对角线
∴△DAP≌△ＤＣＰ， ∴ＰＣ＝ＰＡ
A P D
∵PA+PE≧AE（当A、P、E三点成一线时等号成立） B ∴PA+PE长度和的最小值等于AE的长 图2 又BE=2，EC=1
∴AB=3，AE=32?22=13 二、如何运用代数知识求最值 １、利用二次函数的性质求最值
例3，如图3，在⊙○的内接△ABC中，ＡＢ＋ＡＣ＝１２，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，AD =3，设⊙○的半径为y,ＡＢ的长为ｘ.
⑴ｙ与ｘ之间的函数关系式； ⑵当ＡＢ的长等于多少时，Ｓ⊙○最大， 并求这个最大值。
解：连接Ａ、O并延长⊙○于Ｅ,连接Ｂ、Ｅ, 图3 ∵ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ,∴∠ＡＤＣ=∠ＡＢＥ=９０°
∵∠Ｃ=∠Ｅ, ∴△ABＥ≌△ＡＤC ∴
ABAE? ADACE
C
∵ＡＢ=ｘ,ＡＤ=３，ＡＢ+ＡＣ=１２
12y,∴ｙ=-ｘ２+２ｘ
612?x11⑵ｙ=-ｘ２+２ｘ=-(ｘ-６) ２＋６
66∴?x3当ｘ=６时，ｙ最大值 =６，Ｓ⊙○最大=??6２=36?
2、寻求具体问题中的数量关系，构造方程，并利用△≥0求最值。
例4,已知边长为P的正方形ABCD
内接于边长为q的正方形EFGH,
H A
D G
q试求的最大值。 pE
C F
B
解：如图4，显然BE、BF的长随内接 图4
正方形ABCD的位置而变化，由勾股定理，得BE２+AE２=P２,而BF=AE, ∴BE２+BF２=P２, ∴BE?BF=
ｘ２-qx+
q2?p2,以BE、BF为根作一元二次方程： 2q2?p2=0 2q24q2?P2≥0即≤2
p22∵BE、BF为实数，∴△=q2—
qPqP∵＞0，∴的最大值为2 三、利用非常规方法求最值 1、利用不等式
首先根据问题特征构造一个不等式，让不等式左边是要求其最值的那个量，然后通过放缩此不等式（注意，一定不能是绝对不等关系），得到一个常值，这个常值可能就是所要求的最值。 例5,如图5，点P、Q、R分别站在
△ ABC的三边上，且BP=PQ=QR=RC=C, 求△ABC面积的最大值。
BQPh2CQ'Ah1R解：由题意，作两高h1，h2,如图7，则 图5
S△ABC=S△APR+S△BPQ+S△CQR+S△PQR
1122111131h13≤S△APR+++=PR?h1+= PR?h2?+
222222h22 =S△APR+BP?PQsin∠BPQ+PQ?RC sin∠QRC+QP?QR sin∠PQR
12
= S△PQR?
h131h13+≤?+ h222h22注意到PB=PQ,RQ=RC,所以角∠PQR=180°-(∠B+∠C)= ∠A,作Q关于PR的对称点Q′，则Q′、A都在以PR为弦且含∠A的弓形弧上，又由PQ′=PQ=RQ=RQ′,所以Q′为此弧的中点，h2= Q′到PR的距离≥h1，故，S△ABC≤?1+=2，又显然当 AP=AR=1, ∠A=90°时，面积取最大值为2。 2、穷举归纳
若自变量的取值范围是整数或自然数集或其一部分，则可考虑通过将所有可能取值情况一一枚举出来，求得欲求其最值的量的所有可能值，再比较而得最值。
例6，如果自然数x1,x2,x3，x4满足x1+x2+x3+x4+x5= x1x2x3x4x5,那么x5的最大值是多少？
解：由条件等式的对称性，不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，因为诸x1是自然数，所以，由条件等式两边同除以x1x2x3x4x5,并放缩不等式得
1=
1x2x3x4x5ba1a+
1x1x3x4x5+
1x1x2x4x5+
1x1x2x3x5+
1≤
x1x2x3x43111112++++≤ 2+ x4x5x4x5x4x5x5x4x4x4解这个不等式得，x4≤3,此即表示x4只可能取三个值3,2,1，不难进一步讨论得，当x4取3和2时，x5都取5 ；当x4取1时，x5不存在，故x5的最大值为5. 3、利用导数求最值
例7,求函数f(x)=x3-3x+3在区间【-3，】上的最大值和最小值。
解：此函数在（-3，）内处处可导，f′(x)=3(x2-1),由f′(x)=0
32315数值为f(-3)=-15，f(-1)=5，f（1）=1，f（）=。
283232求得驻点x=-1、1，函数在驻点及区间【-3，】的两个端点处的函
比较知，f(x)的最大值为f(-1)=5，f(x)的最小值为f(-3)=-15。 例8,造一个容积为V的有盖圆柱形油桶，问油桶的底半径和高各为多少时，用料最少？
解：显然，要材料最省，就是要此油桶表面积s最小，设油桶的底半径为r,高为h,则它的面积为2?rh,底面积为?r2,,因此表面积为s=2?r2,+ 2?rh
由体积公式v= ?r2,h,有h=所以s=2?r2+
v ?r22v r∈(0，+∞) r2v2(2?r3?v)S′=4?r-2= 2rr令S′=0，得r=3S〞=4?+
2v 3rv 2?因为?、v都是正数，r>0，所以S〞＞0，S在点=3值，也就是最小值，这时相应的高为h=
v=2?rv处为极小2?v=2r 2?v?(3v2)2?=23综上所述，在求解最值问题的习题时，通过建立具体问题的数字模型活动，将实际问题抽象出概念和模型，让学生体会在具体问题中提出问题和解决问题的数学建模思想方法，感受符号化思想方法促进
中学数学建模中的最值问题
