1.1.3 导数的几何意义
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线 解析：k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
答案：C
2．已知函数y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2等于( )
A．－3 C．3
B．－1 D．1
zgUgwucj3DcQq5wYRfF7CAl18XcG6Uznbt5UV6V1jlZvPt9zZzmFtk8YVT8yhwd83OFW0B2KkENhBPbENDHxxUTQl6Y2YmKM8Qs0。解析：由导数的几何意义知，在点(2,1)处的切线斜率为y′|x＝2，又切线与3x－y－2＝0平行，∴y′|x＝2＝3.
答案：C
123
3．已知曲线y＝x－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为( )
22A．30° C．135°
12
解析：∵y＝x－2，
2
12
B．45° D．165°
o686dQZaFpXwlMGZPRNM0HsIiH3bzxvr6QVF8qXshfNlPDyaRRE6yWDGDpOvNNB8TvquQ1RpTkvLT7TE8SkHToTade1ICsEtDFrj。JzVUAdMqI6KTKKXcvlucKvUGro0R7kBGNbVhlvVhu3QRyXMgJS2r5krdEfscdUinu36yOGQZqcHGE27uBK8fi9AsKHC63I4zKtnu。x＋Δx2
－2－
∴y′＝liΔxm→0
12
x－22
q5M9y33mady9oo7MQBphKtEsT8zUteWmgKcB4rnjp1CfmA3WEDRohM0Xrkfqu8TWhcTEbwHoe5SIQo6i4DgPnx4uJf9KbXPg7GX9。Δx2
＝liΔxm→0
1
Δx2
＋x·ΔxvBFgXWKzgC5K3wJi7lWqoYfXdNhRBuLdKB8eZQlxPULLMWGsiTaDKtYwmH39FSXLQRZsoujh0pBudtbg6OzHj7thCBShMbRWXZUU。Δx1
＝liΔxm (x＋Δx)＝x. →02
3
∴y′|x＝1＝1.∴点P(1，－)处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选
2B.
qhft02rbbqVpC9HlCJpdw2ACXWWwOJpNFHhrVMiruOyvXb9ZRICFytcoHDw35Vms17KVSgpQrYJIu5FMNXF66KfbuTKifelzr6tP。答案：B
4．设曲线y＝ax在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( ) A．1 1C．－
2
1B. 2D．－1
2
2
解析：令y＝f(x)，由导数的几何意义知，曲线y＝ax在点(1，a)处的切线的斜率为
f′(1)，因为切线与直线2x－y－6＝0平行，所以f′(1)＝2.
因为函数f(x)＝ax，
Δyf1＋Δx－f1
所以f′(1)＝liΔm＝limx→0ΔxΔx→0Δx2
7JKebzE3InzdWEtE3Ry6B0LeCH2JcSJtUFS1joo9UR90zJkkQ5ZXU8B7YwBtwURQE6jhLslFtpcKQKFSmIT7SLyM3L3NMVCZ0ims。8el86Bv8PBtVEoz4t0IJZIzLaeJJrPmMDSmouFuOtQESHChLn1mv6iSqEzYSSLH0fHiL2aAOvUg83G4xWXmptQFk0VJVGCVH9ED0。a1＋Δx＝liΔxm→0Δx2
－a＝liΔxm (2a＋a·Δx)＝2a.→0
5SYUYyi5JgmzHMF14GGwgNGBs3hDoTrZGX9iZZnZ2HW2oUABiOqSLdwhcmsUgEGQOnTJCn14iGuzQDdxtFkzszdtrS5DxtIn06e1。又f′(1)＝2，所以a＝1. 答案：A
1?1?5．曲线y＝在点?，1?处的切线方程为________．
2x?2?1
－
1?1?2?＋Δx?2×2?2?1
解析：k＝y′|x＝＝liΔxm→02Δx1
－1
1＋2Δx－2
＝liΔxm＝lim＝－2，→0Δx→01＋2ΔxΔx1
sCihJbH5Dcc47Wee9CW9cseQYq1k30cfUGVhmcqFUuNdUrpF9JOB8S10nsjjan2C0W9r0WRWbheHF0Vw0lbjcA72EVUUT7vxrbdX。CQcwnHRGFnc9bfWIf9gaDZIImp7utPiKa6z7Mr86N3EMtxQm5MJlYb9D7uaYAmdQ5rZ4FPVN09nzlVfOyKpG5XMYXWZigawqQNH1。zY1cigeMCOgp5BTtX7klxYoaN06xvUfsbyUZpqC7Df7B5z0nVb7uFEjBAQph9GhIzOdxHT3xucIhRM5d0JCjMKMxejpz1lXWYo1h。?1?∴切线方程为y－1＝－2?x－?，
?2?
即2x＋y－2＝0. 答案：2x＋y－2＝0
gVHaiVHgm9axkKESuIVi2U0lFLxusULd7KzTUsSQvYXvxT5g5g1RPI2mUmvwncOsoXpAaKX2P4M3XvOLFhpcSTnpHdZyWlsjav6z。6．函数y＝x＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________. 解析：2＝liΔmx→0答案：－1 7．曲线y＝
2
x0＋Δx2
＋4x0＋Δx－x0－4x0
＝2x0＋4，∴x0＝－1.
Δx2
9pj05GQmI78Tr7ckRB0MrTJ94W5AYWUe3bk9qhxLurcc0Nyycfai74NgG9V9BgoMdTQfN3UA4ei0Hw9gnwnILB7Yo3sglnae2qY6。xx＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为________．
－1
＝liΔmx→0
Δx－1
－
Δx－1＋2
解析：f′(－1)＝liΔmx→0Δx故切线方程为y＋1＝2(x＋1)， 即2x－y＋1＝0.
2
＝2，Δx＋1
CzYrzGOP2UesYE9Nth2C6SaahHTaP5vo1bZ0KwVtmzMLX9iT2mqroMYJoN9SNE0XoPqMF83Xmyfx5od7oZ7sE4ZedfCXm3GIyPn7。答案：2x－y＋1＝0
8．已知曲线y＝f(x)＝2x＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P的坐标为________． 解析：设P(x0,2x0＋4x0)， 则f′(x0)＝liΔxm→0＝liΔxm→0
2
Δx22
2
fx0＋Δx－fx0
ΔxRgVSvQxzAZJhn0xwzBlcX2Ym9DeW5OznWShN9ez5LXXieYkTma7O5CdPhzIRCAuLplkuIKmk2frZ4G7ailAUGKikFsvAvHtascS。＋4x0Δx＋4Δx＝4x0＋4.
ΔxVPTpOb4wpxHMWfc60sa784MpIMkfyI33r1WFez4dgWnNJX7qnHyHZaVR2uH2QPYHtDlUjwRroWQcGZGKEUSRam4g55DKS1mrXGj。又∵f′(x0)＝16，∴4x0＋4＝16. ∴x0＝3.∴点P的坐标为(3,30)． 答案：(3,30) 1
9．已知曲线y＝.
x(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程； 1
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
3
1
解析：(1)设过点A(1,0)的切线的切点坐标为(a，)，
a因为liΔmx→0
fa＋Δx－fa1
＝－2，Δxaac7vJ6QqDsouj6NsnZ7TNm868S82rGOoTPkFhwuloYO52fER0aLs8o0n30mQXOZWDZAuL7bQuMvOy33Seg1gVlguOXCgaEnAZSr3。1
所以该切线的斜率为－2， 11
切线方程为y－＝－2(x－a)，①
aa1
将A(1,0)代入①式，得a＝.
2所以所求的切线方程为y＝－4x＋4. 1
(2)设切点坐标为P(x0，)，
x0
1
由(1)知，切线的斜率为k＝－2，
x0
11
则－2＝－，x0＝±3.
x03那么切点为P(3，
h3opFSJOtqq6x2bOxpWyL93qQMHDH9nIDhtcu9GDcqKNBMYWO3tNwAV7ZXyTa66k2IsfyYkoIimkpgO3NLOEFAb3mmcwANt5jqKS。33
)或P′(－3，－)．33
JhqgM3CSR4kJ7l2UJkAaLLboIwhfSMshYY1Y7whhLyLrd0BCRXNf0d5X62xfLnZ4B2L8k3Nd3iod0KaHVFnVYcgLT3S4Y1wozGPa。所以所求的切线方程为
y＝－x＋
1
323123
或y＝－x－.333
6iQydYTK1h4jFbYZbFSNWrowS0BLeJDXSiYD41UN6sn7KINlbIqAE9eFUkGdn7wiD7rmdlU9L5Ht3gL9cfzvj3iI4iJKlHpYV4uC。1
10．已知曲线f(x)＝x，g(x)＝.
x(1)求两条曲线的交点坐标；
(2)过两曲线交点作两条曲线的切线，求出切线方程； (3)求过交点的f(x)的切线与坐标轴围成的三角形面积． 解析：(1)由错误!得错误!
rxY6mr48yvKAEIDFTV1YYf0WL7ViWsVVUDaoBSlZevqI4SYNStx6ac3cx1lfwMb5AOF1yf31z2JsOhSS97qtVPLHAYQzw6tskk8f。∴两曲线的交点坐标为(1,1)． (2)对曲线f(x)＝x，
f′(1)＝liΔmx→0
1＋Δx－111
＝liΔxm＝，→0Δx1＋Δx＋12
k4grXP04T33JuGhwY7kHNvoGpZMtOFYV5HW4kXmYDIPyujFPsUXTLF2OGA1Y3wge48ENKcb0Lm35GQb6kW1TH5apE7oKVnV7sBtm。∴y＝f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0. 1
对g(x)＝，有
12
x1
－11＋Δx－1
g′(1)＝liΔm＝lim＝－1，x→0Δx→01＋ΔxΔxymXsofTaqcc18EtpkZ7QD1335QbLb0JM1WbgfSqJNRSuGjEyIoXwMq9wiTnx47ZpsqZbsdaszo3M9ymMcD3N3d0BNFXluSEFSs1。∴g(x)在(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0.
(3)由(2)知y＝f(x)在(1,1)处的切线方程为x－2y＋1＝0， 1
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－1，
2∴切线与坐标轴围成的三角形面积
S＝××1＝.
[B组 能力提升]
1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( ) A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)＜
112214
f′(xB)．
kZoVoWHLdrMnLNtywYDD2k9CdJHuVFqJyVwVlrlDPKMsHr5UT0J44ORZPLIEfdPy02OPgyd5DZNhyGUMDNAVVmFK4x5zJGoCVds。答案：B
2．设a>0，f(x)＝ax＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的取
2
?π?值范围为?0，?，则点P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离的取值范围是( )
4??
?1?A.?0，? ?
a?
1??B.?0，?
?2a?D.?0，|
WEHeNxxRe2sihjJWbhLqTJIopTt7gc618zW4pwJjjV8sXKM5oSKUCPOcViOU4qB1Vq9InFxEyr7YBgrF6oIorcoiLJ86IOfSj6xw。QHKoukSTVg3sKKvEK6D7YqAboNPQqhtOHsQeJmULLT2DsC0s9LHCXVmp6y0Hu2sEMfLiUgUncSm4oXJMMnGFzRQM6q8bmcgIroQd。??C.?0，||?
2a??
解析：f′(x)＝liΔxm→0＝liΔxm→0
[ab?
?
b－1?
|2a??
MyqVME5psZ9fvOcN91L610kMtR5ogQg150d1lo1DbDrd6wjlaYKXDozMeDsVzG9CJ7avBasKZ8Uny7GWxKdh5jnGqrNHV63uuPtZ。fx＋Δx－fxΔx2
NAcIxFqmQF4zOSmRWg7Q4ZjqZP9ACwiknQuGFcfUITExX401nzY3CviOgMJIwQJjnJbYnGcK1d8bkMtUP8c3yeISyFpTsxoR9l9d。x＋Δx＋bx＋Δx＋c]－ax＋bx＋cΔx2
Hd7uZz4erjsqCSbmEiIH05ToVWYE2U6QGXtThV3XQ2IYejTnGj0c9eSCkJz2AqbxdCKEoi4IfKQYnVaB2BYJUTGr4Ryxl0nqRaLB。2
4QBHVrDDZH1IF9xEyCnfC7VpURsjCscBvX6nlyzLD3PICNl6zYE90bxXUbN3Yk0xvqdH3aiZ3BByidN6wmJEO3Bkq9s9LvNj3hdc。2ax·Δx＋bΔx＋aΔx＝liΔxm→0Δx＝2ax＋b.
?π?∵曲线在点P(x0， f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为?0，?，∴0≤2ax0＋b≤1，
4??
IDoDKe6UigXBc6mZ5umN3uQSFEKIiGrkxZvU9nLVzXJXf72uEYP0yqOeNvY6toBBPD3cArPIIqd6KTDxCg3kQqM7bh7EpFrbm78C。又点P到曲线y＝f(x)的对称轴的距离为
?x0＋b?＝|2ax0＋b|.
??2a?2a?
C2lnEuvGOpYu7RE0fETSK1UbQwZplwjHiBFV6w0s3PV2AAKWxSKtyQRA89x7u5kh6gcvbIUIEqPV6SBfL3RsLQ8rK4NWZSYXuDWk。b??1??x＋0，∴?0?∈??.
2a??2a??
答案：B
LRFW5YDNGG3KsdRYzQt2YONycUna3ourHSYvywQbQeWAcejpiEMCGIEX46JbBtKibB3Afmp30hbJRdmXAXSoBRLZe0rrMEAnuDoB。3．已知函数y＝ax＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
2
bavQ1VgscIrfb3hHSvshUj1ezK4JMThwpOZikU26L2MpAwSFpocnUCv8shhhQwGiqUQm4ZmXtmwSwCD2RojnHTBMiRP3DLfemuYFGw。a1＋Δx解析：liΔxm→0Δx2
2
－a＝liΔxm (a·Δx＋2a)＝2a＝2，→0
jqwriuGZK9cbE4KEST1u4y8tWyGUepoSq1vgSgtiPScgeurGMPQ0GAtKh3vJOLLkKkKDytLCqIEbmSfr708oznbPxLYPKKu37RvT。∴a＝1，又3＝a×1＋b，∴b＝2，即＝2. 答案：2
4．如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象，则f(2)＋f′(2)＝________.
ba
xy4.59
解析：由题意，可得切线的方程为＋＝1，其斜率为k＝－＝－.又点P(2，f(2))
44.548
为切点，
3MkiMHg7XVbEofvxwxofa2xgiaaDg2gII9yoursCKuVnvu4kJAfNei60e30CwDQVFtWfH7355MvG79LO5QUGMtup2y9qqP56D0I1。
高中数学第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.1.3导数的几何意义优化练习新人教A版选修2_2word版本
