上海市2020学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）
一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1.已知i为虚数单位，若复数?1?ai??2?i?是纯虚数，则实数a?______. 【答案】2 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数（1+ai）（2+i）＝2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，
?2?a?0∴?，
1?2a?0?解得a＝2． 故答案为：2．
【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题． 2.椭圆??x?5cos?（?为参数）的焦距为______.
y?4sin??【答案】6 【解析】 【分析】
消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．
?x?cos???x?5cos??5【详解】将?变形为?，
yy?4sin????sin???4平方相加消去参数θ可得：
x2y2??1， 2516所以，c?25?16?3，所以，焦距为2c＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．
x23.以椭圆?y2?1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.
2【答案】x?y?1 【解析】 【分析】
根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．
22x2【详解】椭圆， ?y2?1的焦点为F（±1，0）
2顶点为（±2，0）；
则双曲线的顶点为（±1，0），焦点为（±2，0）， ∴a＝1，c＝2，
∴b?c2?a2?2?1?1， ∴双曲线方程为x?y?1， 故答案为：x?y?1．
2222【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．
4.某圆锥体的侧面图是圆心角为______.
【答案】182? 【解析】 【分析】
由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．
的2?的扇形，当侧面积是27?时，则该圆锥体的体积是3??【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l，则侧面展开图扇形的面积S 27π；
∴l＝9．又设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝∴r?12?2 l＝
232? l， 31l＝3； 3∴圆锥的高h?l2?r2?81?9?62； ∴该圆锥体的体积是：V圆锥?故答案为：182?．
【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题．
11?πr2?h??π?9?62?182?． 33?y?x?5.已知实数x、y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为______.
?y??1?【答案】5 【解析】
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(?1,1),B(2,1),C(1,0)，直线z?x?2y过点C时取最大值1. 考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的体积相等，则它们的表面积之比S圆柱:S球?______.（用数值作答） 【答案】
7 6【解析】
【分析】
由已知中圆柱M与球O的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S圆柱：S球的值．
【详解】∵设圆柱M的底面圆的半径与球O的半径均为R，M的高为h 则球的表面积S球＝4πR2 又∵圆柱M与球O的体积相等 即?Rh?解得h＝
24?R3 34R， 314?R2，S球?4?R2， 34πR2＝2πR2+2πR?h 则S圆柱＝2πR2+2πR?h=∴S圆柱：S球?故答案为：
147：4?， 367. 6【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．
2z2是实系数一元二次方程x2?px?q?0的两个根，7.若虛数z1、且z1?z2，则pq?______.
【答案】1 【解析】 【分析】
设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．
【详解】由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R且b?0），
2又z1?z2，则a2?b2?2abi?a﹣bi， ∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，
1?a???a2?b2?a?2???∴?．
2ab??b3??b???2?∴z1＝?11313313+i，z2＝??i，（或z2＝?+i，z1＝??i）由根与系数关22222222系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1?z2＝1， ∴pq＝1． 故答案为：1.
【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．
228.已知双曲线x?y?1，A1、A2是它的两个顶点，点P是双曲线上的点，且直线PA1的斜率是
1，则直线PA2的斜率为______. 2【答案】2 【解析】 【分析】
22y02?1，由A1（﹣1，0）设P（x0，y0），则x0?y0?1，2，A2（1，0），知
x0?1y0y0y02??2?1，由此能求出直线PA2的斜率． k1k2?x0?1x0?1x0?122【详解】设P（x0，y0），则x0?y0?1，
的y02?1， ∴2x0?1∵A1（﹣1，0），A2（1，0），设直线PA1的斜率为k1，直线PA2的斜率为k2，
y0y0y02???1， ∴k1k2?x0?1x0?1x02?1?∵k1 1， 2∴k2?2． 故答案
：2．
【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．
上海市2020学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）
