kcaolong=′?′
sinα′n ?(s??c) n2’n 5.2.2模型的建立 （1）目标函数：
我们知道，钢条对每根木条都有作用力，当桌子上有物品时，该作用力表现为支持力，方向朝上，为帮助理解，我们作出桌子受力示意图如图9所示：
图9 桌子受力示意图 F
h=Fx+Fy
=Ft+Fn（粗体表示矢量）
而Fx、F
y可由每根木条受到的钢筋对它的作用力的分解再加和得到： Fx= F0cos?(αn’)
Fy= F0sin?(αn’)
(其中F0为钢筋对木条的作用力，我们知道该作用力大小相等，这里用F0表示)于是，我们可以得到合力的方向与竖直方向的夹角：
θ=arctan F0cos αn’ cos αn’ F0sin αn =arctan sin αn
为了使桌子稳固，合力的方向与桌腿方向（斜向上）应该尽量靠近，也就是它们之间的夹角β=90°? α1’?θ 尽量小，我们可以以此为目标函数： min β=90°? α1’?θ =90°?[arcsin h cos αn’ l1 ?arctan sin αn （2）约束条件：
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① 应力约束
剪应力是指物体由于外因（受力、湿度变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从形变后的位置回复到形变前的位置。
抗拉强度即表征材料最大均匀塑性变形的抗力，拉伸试样在承受最大拉应力之前，变形是均匀一致的，但超出之后，材料开始出现缩颈现象，即产生集中变形，对于没有（或很小）均匀塑性变形的脆性材料，它反映了材料的断裂抗力。 在这里我们知道受力最大的是四个桌角，如果四个桌角能够承受剪应力和抗拉强度，则可以说明桌子是稳定的。
根据定义，我们可以得到剪应力和抗拉强度的数学表达式。 剪应力τ： τ=Fn d×dd抗拉强度σ：
σ=Ft d×dd 其中b为木条宽度，dd为木条厚度。在要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。所以应该有剪应力小于许用剪应力，抗拉强度小于许用抗拉强度。即： τ≤[τ] σ≤[σ]
其中[τ]为许用剪应力，[σ]为许用抗拉强度。 ② 支撑面积
桌面支撑面积指桌子四条腿所在点按直线连接的形成几何的面积（这里的支撑面积为矩形），支撑面积越大，桌子稳固性越好。在这里我们以桌面支撑面积大于桌面面积为约束条件。
支撑面积S:
S=(L′?2l1’)+2l1’cosα1’ 应该满足： S>πr2 即：
S(L′?2l1’)+2l1’cosα1’>πr2 ③ 长度限制
结合实际情况，第n根木条的开槽长度不可能比木条本身长，则有： kcaolong′ ?′n ? s??c′ 2综合以上分析，可以得到问题二的动态规划模型如下： 13 cos αn’ min β=90°? arcsin ?arctan l1nh τ≤ τ σ≤ σ S(L′?2l1’)+2l1’cosα1’>πr2 ′ ?? s? n?c′ 运用lingo软件，编写程序（详见problem2），我们可以得到各木条与桌面夹角及各木条开槽长度如下表4所示： 表4 各木条与桌面夹角及各木条开槽长度 由表4知，第1根木条即桌脚与水平面夹角为1.255484rad,对应为71.934° 5.3问题三的模型建立和解决 考虑实际情况，桌子堆放物品时，桌面各点承受力相同，所以桌子应该是前后、左右对称,这里和问题一、问题二一样，我们仅研究四分之一桌子即可。 对于客户给定的桌面边缘线函数y=f(x),应该满足 f(x)是关于y轴对称的。 (1)参数的确定 木条根数t： t=d （其中d为木条宽度） 第n个木条到木板边沿的距离an： dan= n?1 ?x+ n?1 d+（n为整数） 第n x w 从上图知，第n根木条到桌面轴线的距离cn即为木条（上图黑线）与椭圆交点。 在这里，设计加工参数我们依然按照第二问求最优的，即产品稳固性好、加工方便、用材最少，因此，借用问题二模型，我们可以求出此条件下的折叠桌平板尺寸、钢筋位置、开槽长度、桌角角度。 现根据我们所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。 （1）椭圆桌 我们只需要研究四分之一桌面，这里取椭圆第一象限部分： x22y= 1?( 我们把函数代入MATLAB程序，可以得到动态变化过程的示意图如下图10：
数学建模国家一等奖优秀论文
