从折叠桌实物可以看出，桌面并非为标准的圆面，圆面边上是锯齿形状，考虑到锯齿长度和圆半径的差异，我们假定圆为过木条中点的圆，在作示意简图和实际计算时，都以木条端点中点为木条与桌面接触点。
另外，折叠桌以材料最省为设计原则，在木板尺寸一定情况下，应该做到桌面尽可能大，这里我们取木板宽度为桌面直径。 5.1.2 模型的建立
为帮助理解，我们做折叠桌子两个最长脚（即在未折叠时的木板的同一侧最长木条）示意图，如图1所示：
50 图1 折叠桌子两个最长脚截面图
(其中A点为最长木条一端到水平面的距离，由于桌实际高度包括桌面厚度3cm，则A点到水平面距离要减去3cm)
BC= l12?(h?3)2
其中l1为57cm，因为木板厚度为3cm,有AD为两倍厚度，因为l1+AD+DE=L=120cm
则知l1为57cm。记l’=BC
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下面，我们作出平板俯视示意图，如下图2所示
图2 平板俯视示意图
对于第n个木条到木板边沿的距离an，应该包括（n-1）条缝宽，（n-1）根木条长度以及它自身一半的长度，则有：
adn= n?1 ?x+ n?1 d+2（n=2，3，…，10） 从几何关系上，应用勾股定理可以得出：
cwn= (22?(w2?an)2
则第n个木条与第n-1个木条顶点位置到圆面轴线径向距离差： ?cn=cn+1?cn
第n根木条长度ln：
lLn=?cn
为了求解木条旋转角度αn，我们沿着钢筋的角度，作出折叠凳示意简图，如图3所示：
图3 折叠桌示意简图
6
由上图知 0.5? 0.5? α2=arctan 1α1=arctan α3=arctan 0.5?
12 ……
同理可得αn递推公式，即每根木条旋转角度：
nαn=arctan l’? 1 c
n+1?cn
（由图3知，l’? n1(cn+1?cn)可能为负值，说明αn为钝角） 开槽长度 kcaolong）
n=0.5（h?h0?(0.5l1? n1
?1 sinαn
?cn)) 综合以上所分析，可建立如下几何模型： n
αn=arctan l? 1 cn+1?cn kcaolongn= 0.5 h?h0 sinαn ?(0.5l 1? n1
?1 ?c n)) ln=L 2 ?cn
5.1.3 模型的解决 （1）动态变化过程
动态变化过程：由于用力大小未知，折叠桌与时间的关系不能确定，我们只能确定桌子从平板到折叠完成后这一过程中，任一角度的桌角位置，（程序见附录problem1_3.m）例如当最长木条转过60°、65°、70°，通过程序可以得到各木条相对桌面旋转角度，如表1所示：
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表1最长木条转过60°、65°、70°时各木条转动角度
（2）长槽长度、木条长度、旋转角度
根据以上建立的模型，运用MATLAB软件，编程计算每根木条长度、旋转角 度、长槽长度结果如下表2所示： 表2 木条长度、旋转角度、长槽长度
从表1可以看出，第一根木条卡槽长度为0cm,符合实际。
下面我们绘制木条长度（如图4所示），开槽长度（如图5所示）：
木条长度（单位：cm
）开槽长度（单位：cm）序号序号 图4 木条长度图 图5 开槽长度柱形图 （3）桌脚边缘线的描述
为形象描述桌脚边缘线，可以用MATLAB绘图，因此，首先建立三维坐标系，我们以一个桌角为坐标原点，两桌角（平板状态时为异侧木条）连线为x轴，另两桌角（平板状态时为同侧木条）连线为y轴，竖直方向为z轴，如图6所示
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数学建模国家一等奖优秀论文
