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24.(2013课标全国Ⅱ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤
1; 3a2b2c2???1. (2)bca.
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 答案:A
2
解析:解不等式(x-1)<4,得-1<x<3,即M={x|-1<x<3}.而N={-1,0,1,2,3},所以M∩N={0,1,2},故选A. 2. 答案:A 解析:z=2i2i?1?i??2?2i?==-1+i. 1?i?1?i??1?i?23.
答案:C
解析:设数列{an}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.
a1(1?q3)∵q≠1时,S3==a1·q+10a1,
1?q1?q32∴=q+10,整理得q=9. 1?q∵a5=a1·q=9,即81a1=9,∴a1=4. 答案:D
解析:因为m⊥α,l⊥m,lα,所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m,n为异面直线,所以α与β相交,且l平行于它们的交线.故选D. 5. 答案:D
解析:因为(1+x)的二项展开式的通项为C5x(0≤r≤5,r∈Z),则含x的项为C5x+ax·C5x=(10
5
2
4
1. 9rr221+5a)x,所以10+5a=5,a=-1. 6.
答案:B
解析:由程序框图知,当k=1,S=0,T=1时,T=1,S=1;
2
11,S=1+; 22111当k=3时,T?,S?1+?;
2?322?31111?当k=4时,T?,S?1+?;…;
2?3?422?32?3?41111当k=10时,T?,S?1+??L?,k增加1变为11,满足k>N,输出S,
2?3?4?L?102!3!10!当k=2时,T?
所以B正确.
7. 答案:A
解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图像为下图:
.
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则它在平面zOx上的投影即正视图为8. 答案:D
解析:根据公式变形,a?,故选A.
lg6lg2lg10lg2lg14lg2?1??1??1?,b?,c?,因为lg 7>lg 5lg5lg5lg7lg7lg3lg3lg2lg2lg2??>lg 3,所以,即c<b<a.故选D. lg7lg5lg39. 答案:B
解析:由题意作出??x?1,所表示的区域如图阴影部分所示,
?x?y?3
作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得
a?11,所以a?. 2210. 答案:C
解析:∵x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故C不正确.
11. 答案:C
解析:设点M的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+则x0=5-
p=5,2p. 2p??p??,0?,所以以MF为直径的圆的方程为(x-x0)?x??+(y-y0)y=0.
2??2??y02将x=0,y=2代入得px0+8-4y0=0,即-4y0+8=0,所以y0=4.
2p??2由y0=2px0,得16?2p?5??,解之得p=2,或p=8.
2??又点F的坐标为?所以C的方程为y=4x或y=16x.故选C.
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2
2
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12. 答案:B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.答案:2
解析:以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(2,0),点D的坐标为
uuuruuur(0,2),点E的坐标为(1,2),则AE=(1,2),BD=(-2,2),所以uuuruuurAE?BD?2.
14.答案:8
2解析:从1,2,…,n中任取两个不同的数共有Cn种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以
21241?,即,解得n=8. ??n?n?1?C214n?n?1?14n210 5π?1?tan?111??,得tan θ=?,即sin θ=?cos θ. 解析:由tan?????4?1?tan?233?10222将其代入sinθ+cosθ=1,得cos??1.
93101010因为θ为第二象限角,所以cos θ=?,sin θ=,sin θ+cos θ=?.
1010515.答案:?16.答案:-49
解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+10?9d=10a1+45d=0,① 215?14d=15a1+105d=25.② 22
联立①②,得a1=-3,d?,
3
n(n?1)21210所以Sn=?3n???n?n.
23331310220令f(n)=nSn,则f(n)?n?n,f'(n)?n2?n.
33320令f′(n)=0,得n=0或n?.
3202020当n?时,f′(n)>0,0 333S15=15a1?=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B, . 最新整理 又B∈(0,π),所以B?(2)△ABC的面积S?π. 412acsin B?ac. 24π22 由已知及余弦定理得4=a+c-2accos. 4422 又a+c≥2ac,故ac?,当且仅当a=c时,等号成立. 2?2因此△ABC面积的最大值为2+1. 18. 解:(1)连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点. 又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD,BC1所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC=CB= 平面A1CD, 2AB得,AC⊥BC. 2uuur以C为坐标原点,CA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. uuuruuuruuur设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2). 设n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量, uuur??n?CD?0,?x1?y1?0,则?uuu即? r2x?2z?0.1??n?CA1?0,?1可取n=(1,-1,-1). 同理,设m是平面A1CE的法向量, uuur??m?CE?0,则?可取m=(2,1,-2). uuur??m?CA1?0,从而cos〈n,m〉=故sin〈n,m〉= n·m3, ?|n||m|36. 3即二面角D-A1C-E的正弦值为 6. 319. 解:(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以T???800X?39000,100?X?130, ?65000,130?X?150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 20. .
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
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