《2018江苏省大学生数学竞赛本1-3试卷》 一．填空题（ 每小题4分，共20分） (1) 设f?u??arctan1?u2?lnxdy,??x??,y?f???x??,则
dx1?ux4n3n2n1nn? (本一)
x?1(1) 设a?0，则lim(1?2?3n????4)= (本二)
(1) lim(1?2n???3n2n?3)= (本三)
21nn(2)
?0?sinx?cos2x?x????2dx? (本一)
ax(2) 设a?0，则limln(1?e)ln(1?)? (本二三) (3)
ax?0??1?1?x?22dx? (本一)
(3) 设f(u)?arctan12dy,?(x)?,y?f(?(x)),则1?udxxx?1? (本二三)
??0,0,0??3,函数 (本一) (4) 已知函数F?u,v,w?可微，Fu??0,0,0??1,Fv??0,0,0??2,Fwz?f?x,y?由F2x?y?3z,4x2?y2?z2,xyz?0确定，满足f?1,2??0,则 fx??1,2?? . (4)
???+?0xdx? . (本二三) 23(1?x)(5) 设?是区域
3??x,y?｜x2?y2?4,0?y?x?的边界曲线，取逆时针方向, 则
3y???x?y???y?1?e?dx???x?y???xyeydy? . (本一)
'?(5) 已知F(u,v)可微，Fu(0,0)?1,Fv(0,0)?2，函数z?f(x,y)由方程 (本二三)
'F(2x?y?3z,4x2?y2?z2)?0确定，满足f(1,2)?0,则fx'(1,2)? . 二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分） (本一)
?1?3???2n?3???2n?1??lim(1)求极限 n????2?4???2n?2???2n???;
??x2?xy?y244(2) 求极限 xlim?sinx?y. 44??x?yy??2??二. 解下列两题（ 每小题5分，共10分） (本二)
?(1) 求定积分
?20(cosx?cos2x)2dx;
(2) 求极限limx?y22sin(x?xy?y).
x???x2?xy?y2y????二.解下列两题（ 每小题5分，共10分） (本三) (1) 求定积分
?20(cosx?cos2x)2dx;
(2) 求极限limx?y22sin(x?xy?y).
x???x2?xy?y2y???三. (10分) 已知函数f?x?在x?a处可导?a?R?,数列xn,yn满足:xn??a??,a?,
????limx?a,nlimy?a, 试求 nyn??a,a??? ???0?,且nlim??n??n??xnf?yn??ynf?xn?yn?xn. (本一)
三.(10分) 已知函数f?x?在x?0处可导, 数列xn,yn满足:xn????,0?,yn??0,??
????yn?xnlimx?0,nlimy?0, 试求 n ???0?,且nlim??n??n??xnf?yn??ynf?xn?.
(本二)
(本三)
三.(10分) 已知函数f?x?在x?0处可导, 数列xn,yn满足:xn????,0?,????limx?0,nlimy?0, 试求: (1) nyn??0,?? ???0?,且nlim??n??n??f?yn??f?xn?yn?xnxnf?yn??ynf?xn?yn?xn；
(2) nlim??.
111??xsin?cos四. (10分) 已知f?x???x2x?0???1?x?0或0?x?1?; 试判别:
?x?0?，(本一)
(1) f?x?在区间??1,1?上是否连续? 若有间断点,判断其类型;
(2) f?x?在区间??1,1?上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3) f?x?在区间??1,1?上是否可积? 若可积,求出?f?x?dx;若不可积, 写出理由.
?11111?xsin?cos?四. (10分) 已知f?x???x2xx2?0???1?x?0或0?x?1?; 试判别: (本二三)
?x?0?，(1) f?x?在区间??1,1?上是否连续? 若有间断点,判断其类型;
(2) f?x?在区间??1,1?上是否存在原函数?若存在,写出一个原函数;若不存在, 写出理由; (3) f?x?在区间??1,1?上是否可积? 若可积,求出?f?x?dx;若不可积, 写出理由.
?11
五.(14分) 已知曲面x2?2y2?4z2?8与平面x?2y?2z?0的交线?是椭圆,?在xOy平面上的投影?1也是椭圆, (1) 试求椭圆?1的四个顶点A1,A2,A3,A4的坐标(Ai位于第i象限,
i?1,2,3,4);(2)判断椭圆?的四个顶点在xOy平面上的投影是否是A1,A2,A3,A4,写出理由.
(本一)
??1?sinx (x?0)?五.(12分) 已知函数f(x)??a?bx?cx2?dx3 (0?x?1)；在(??,??)上可导，试求常
???2arctanx? (x?1)?2数a,b,c,d. (本二) 五.(12分) 设D?{(x,y)|x?y?1?2y,y?0}. (本三) (1)试求区域D的面积；
(2)试求区域D绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积. 六. (12分) 设?:x222?y2?z2?4?z?0?,取上侧,试求曲面积分 (本一)
x??y?1??z222???xdydz?ydzdx?zdxdy22.
六.(12分) 设D?{(x,y)|x?y?2(x?y),y?0}. (本二) (1)试求区域D的面积；
(2)试求区域D绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积.
222六. (12分) 已知二次锥面4x?12y?3z?0与平面x?y?z?0的交线是一条直线L,
(1) 求直线L的标准方程; (2) 平面?通过直线L且与球面
x2?y2?z2?6x?2y?2z?10?0
相切, 试求平面 ?的方程. (本三)
222七. (12分)已知二次锥面4x??y?3z?0与平面x?y?z?0的交线是一条直线L,
(1) 试求常数?的值,并求直线L的标准方程; (2) 平面?通过直线L,且与球面x2?y2?z2?6x?2y?2z?10?0相切, 试求平面 ?的方程. (本一)
2018江苏省高等数学竞赛本1-3试卷
