基本不等式全题型

题型1 基本不等式正用a＋b≥2ab

11

例1：(1)函数f(x)＝x＋(x>0)值域为________；函数f(x)＝x＋(x∈R)值域为________；

xx(2)函数f(x)＝x＋

2

1

的值域为________． x＋1

2

1

解析：(1)∵x >0，x＋≥2

xx·＝2，∴f(x)(x >0)值域为[2，＋∞)； x1

当x∈R时，f(x)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x＋

2

112

＝(x＋1)＋2－1≥2x＋1x＋1

2

x2＋

1

－1＝1，当且仅当 x＝0 时等号成立． x＋1

2

答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)

4

4．(2013·镇江期中)若x>1，则x＋的最小值为________．

x－1

解析：x＋

444＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．答案：5 x－1x－1x－1

4

[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．

x4?4

(1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋＋x＝2－?＋x?－x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－?例：当x＞0时，则f(x)＝

44

－x??.∵－x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝－x，即x?

?4＋－x?≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.

?

?－x?

2x的最大值为________． x＋12x221

解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x＋112xx＋2

xx2＋2

3．函数y＝(x>1)的最小值是________．

x－1

x2＋2x2－2x＋2x＋2x2－2x＋1＋x－

解析：∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝

x－1x－1x－1

1＋

3

＋2≥2 x－1

＋3x－＝2

＋x－x－1

＋3

＝x－

x－

33＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 x－1x－1

1

－x的最小值． a－2x10．已知x＞0，a为大于2x的常数，求y＝解：y＝1a－2xa＋－≥2 a－2x22

1aaa－21a－＝2－.当且仅当x＝时取等号．故y＝－x的最小值为2－. 2222a－2x2

题型2 基本不等式反用ab≤

a＋b2

1??例：(1)函数f(x)＝x(1－x)(0

2??解析：(1)∵00, x(1－x)≤?

?x＋－x?2＝1，∴f(x) 值域为?0，1?.

?4?4?2????

111?2x＋－2x?21?1?(2)∵00. x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤·?＝，∴f(x) 值域为?0，?. ?2222??8?8?

?1??1?答案：(1)?0，? (2)?0，? ?4??8?

3．(教材习题改编)已知0

119311

解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．答案： 3344223．函数y＝x1－x的最大值为________．

x2＋－x21222解析：x1－x＝x－x≤＝.

22

4．已知0

1132A. B. C. D. 3243

x＋1－x?231?解析 ∵00.∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3?＝.当x＝1－x，即x＝时取等号．答案 B ?2?2?4

10．已知x＞0，a为大于2x的常数，求函数y＝x(a－2x)的最大值；

2

11?2x＋a－2x?2aa解：∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×?＝，当且仅当x＝时取等号，故函数?222?4?8

2

的最大值为. 8

题型三：利用基本不等式求最值

t2－4t＋1

2．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．

a2

tt2－4t＋11解析 ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号．答案 －2

tt2x例：当x>0时，则f(x)＝2的最大值为________．

x＋12x221

解析：∵x>0，∴f(x)＝2＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x＋112xx＋x1x2－3x＋1

例1：(1)求函数f(x)＝＋x(x＞3)的最小值；(2)求函数f(x)＝(x＞3)的最小值；

x－3x－3

思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y＝M＋

a的形式． M(1)∵x＞3，∴x－3＞0.∴f(x)＝取等号，∴f(x)的最小值是5.

(2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0.∴f(x)＝

1

＋(x－3)＋3≥2x－3

1x－3

x－＋3＝5.当且仅当

1

＝x－3，即x＝4时x－3

t＋

2

－t＋t＋11

＝t＋＋3≥2

tt·＋3＝5. t1

1

当且仅当t＝，即t＝1时取等号，此时x＝4，∴当x＝4时，f(x)有最小值为5.

tcx2＋dx＋f技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y＝(a≠0，c≠0)的函数，

ax＋b一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y＝t＋(p为常数)型函数，要注意t的取值范围； 例：设x>－1，求函数y＝x＋

4

＋6的最小值； x＋1

pt解：∵x>－1，∴x＋1>0.∴y＝x＋

44＋6＝x＋1＋＋5≥2x＋1x＋1

x＋

44

＋5＝9，当且仅当x＋1＝，x＋1x＋1

即x＝1时，取等号．∴当x＝1时，函数y的最小值是9. 1．若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值是________． 解析 由于x>0，y>0，则x＋y≥2xy，所以xy≤?

＋

?x＋y?2＝81，当且仅当x＝y＝9时，xy取到最大值81. 答案 81

??2?

5．已知x，y∈R，且满足＋＝1，则xy的最大值为_______________．

34

解析 ∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．答案 3

341234

6．(2013·大连期中)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

??4x＝3y，

解析：∵12＝4x＋3y≥24x×3y，∴xy≤3.当且仅当?

?4x＋3y＝12，?

xyxyxyxy

3??x＝，即?2??y＝2

时xy取得最大值3.答案：3

2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为________．

解析：∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．答案：18 25

5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．

xy25

解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10.则＋≥2

xy10?25?＝2，故?＋?min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又

xy?xy?

xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：2

(2012·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3＋9的最小值为________． 解析：由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3＋9＝3＋3≥2×3

ab2

ababa2ba＋2b2

(当且仅当3＝3，即a＝2b时取

aba2b等号)．∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3＋9≥2×3＝18.即当a＝2b时，3＋9有最小值18. 11xy3．设x，y∈R，a>1，b>1，若a＝b＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为 ( )

xy31

A．2 B. C．1 D.

22

11?a＋b?xy解析 由a＝b＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log3??xy?2?

112

＝1，当且仅当a＝b＝3时“＝”成立，则＋的最大值 为1. 答案 C

xy2??21??1

6．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则?x＋2?·?2＋4y?的最小值为________．

yx????

12??21??122

解析 ?x＋2??2＋4y?＝5＋22＋4xy≥5＋2

yx12222

·4xy＝9，当且仅当xy＝时“＝”成立．答案 9

xyxy2????

例：若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求xy的最小值．

22

1

1212

解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y，∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号．∴xy的最小值为. 25254．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________． 答案 18

解析 由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得

xy≥22xy＋6(当且仅当2x＝y时，取“＝”)，

即(xy)－22xy－6≥0， ∴(xy－32)·(xy＋2)≥0. 又∵xy>0，∴xy≥32，即xy≥18. ∴xy的最小值为18.

例：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是 ( )

911

A．3 B．4 C. D.

22解析 依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥22

x＋y＋

??x＝2，

即?

?y＝1?

＝6，

即x＋2y≥4.

??x＋1＝2y＋1，

当且仅当?

?x＋2y＋2xy＝8，?

时等号成立．

∴x＋2y的最小值是4.

3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30. (1)求xy的取值范围； (2)求x＋y的取值范围．

解：由x＋2y＋xy＝30，(2＋x)y＝30－x， 30－x则2＋x≠0，y＝＞0,0＜x＜30.

2＋x－x＋30x(1)xy＝ x＋2－x－2x＋32x＋64－64＝

x＋2＝－x－＝－?

64

＋32 x＋2

＋64?

＋34≤18，当且仅当x＝6时取等号， x＋2??

2

2

?x＋

?

因此xy的取值范围是(0,18]． 30－x32

(2)x＋y＝x＋＝x＋－1

2＋xx＋2

?x＝42－2，32

＝x＋2＋－3≥82－3，当且仅当?

x＋2?y＝42－1

＋y的取值范围是[82－3,30)．

时，等号成立，又x＋y＝x＋2＋

32

－3＜30，因此xx＋2

16

的最小值是________．

ba－bb＋a－b?2a2?解析：∵a>b>0，∴b(a－b)≤??＝， ?2?4例：已知a>b>0，则a＋

2

当且仅当a＝2b时等号成立．

161626422

∴a＋≥a＋2＝a＋2

ba－baa4≥2a2·2＝16，当且仅当a＝22时等号成立．

a64

∴当a＝22，b＝2时，a＋

2

b16

取得最小值16. a－by2

8．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．

xz解析：由已知条件可得y＝

x＋3z2

，

y2x2＋9z2＋6xz所以＝ xz4xz1?x9z?＝?＋＋6? 4?zx?1?≥?2 4?

x9z?

×＋6?＝3， zx?

y2

当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.

xz答案：3

例：已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．

解析：由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.

1．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即的最大值是2；又λ≥

答案：2

1．已知关于x的不等式2x＋解析：因为x>a，所以2x＋33以a≥，即a的最小值为.

22

3答案： 2

5．圆x＋y＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)对称，则ab的取值范围是 ( )

1??A.?－∞，? 4??答案 A

解析 由题可知直线2ax－by＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤?1??故ab的取值范围是?－∞，?.

4??

2

2

x＋22xyx＋22xy≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即

x＋yx＋yx＋22xy，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.

x＋y2

≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________． x－a22＝2(x－a)＋＋2a≥2x－ax－ax－a2

＋2a＝2a＋4，即2a＋4≥7，所x－a?1? B.?0，? ?4?

?1?C.?－，0? ?4?

1?? D.?－∞，? 4??

?a＋b?2＝1 (a＝b时取等号)．

??2?4

?1??1?典例：(12分)已知a、b均为正实数，且a＋b＝1，求y＝?a＋??b＋?的最小值．

?

a??

b?

易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到．