第六章微分方程 6.1微分方程的基本概念
微分方程：
含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。 微分方程的阶：
微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。 微分方程的通解：
如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 微分方程的特解：
在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。 初始条件：
用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。 积分曲线：
微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。
6.2一阶微分方程的求解方法
6.2.1 分离变量法
可分离变量的微分方程： 形如
dy?f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量的微分方程。 dx特点：
等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x的函数，另一个是只含有y的函数． 解法：
当g(y)?0时，把
dydy?f(x)dx,(g(y)?0)对上式两边积?f(x)g(y)分离变量为
g(y)dx?分，得通解为
g(y)
?dy?f(x)dx?C
（这里我们把积分常数C明确写出来，而把一个确定的原函数。）
?dy1，?f(x)dx分别理解为和f(x)的g(y)g(y)6.2.2 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。
6.2.3 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程：
如果一阶微分方程F(x,y,y?)?0可以写为y??p(x)y?q(x)则称之为一阶线性微分方程，其中p(x)、q(x)为连续函数．当q(x)?0时，此方程为非齐次线性方程的
dy?p(x)y?0，称它为对应于dx1 / 4
齐次线性微分方程；当q(x)?0时，称为非齐次线性微分方程。 解法：
用常数变易法可得其通解为：
y?e??p(x)dxp(x)dx?(?q(x)edx?c)（注：其中每个积分，不再加任意常数C。）
6.4 可降阶的二阶微分方程
6.4.1 不显含未知函数y的二阶方程：y???f(x,y?)
解法： 令
y??p?p(x)，则
y???dpdx，方程变为
dp?f(x,p)，解之得p,再积分得dxy??p(x)dx，即得通解。
6.4.2 不显含自变量x的二阶方程:y???f(y,y?)
解法：
令y? = p = p(y)，则y???解。
dpdp?p，方程变为p?f(y,p)，解之得p,再积分得通dydy6.5 二阶线性微分方程
6.5.1
二阶线性微分方程的解的结构
二阶线性微分方程：
形如 y???p(x)y??q(x)y?f(x)的方程,称为二阶线性微分方程。若f(x)?0，称之为二阶齐次线性微分方程；若f(x)?0，称之为二阶非齐次线性微分方程。 齐次线性方程解的叠加原理： 如果函数y1,y2是齐次方程是方程
y???p(x)y??q(x)y?0的两个解,则y?C1y1?C2y2也
1y???p(x)y??q(x)y?0的解,其中C,C2均为任意常数。
齐次线性方程的通解结构： 如果函数y1(x),y2(x)是齐次方程数
y???p(x)y??q(x)y?0的两个线性无关解,则函
y?C1y1?C2y2(C1,C2为任意常数)是方程y???p(x)y??q(x)y?0的通解。
非齐次线性方程的通解结构： 如果y*是方程程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的一个特解，Y? C y?C y是方
1122y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解,则 y? Y? y*? C y?C y ? y* 1122是方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解。
线性微分方程的解的叠加原理： 若
y1?，y2?分别是方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x)，y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的特解，则
y?y1??y2?是方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x)?f2(x)的特解。
6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程：
y???py??qy?0，其中p，q是常数。
特征方程与特征根：
根据y???py??qy?0，可得r那么
2?pr?q?0。只要r的值能使r2?pr?q?0式成立。
y?erx就是y???py??qy?0的解，称r2?pr?q?0为y???py??qy?0的
2特征方程，称r?pr?q?0的根r1,r2为方程特征根。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解： 特征方程r?pr?q?0的两个特征根r1,r2 2 微分方程y???py??qy?0的通解 r1?r2r1?r2r1.2???i?
二阶常系数非齐次线性微分方程：
y?c1er1x?c2er2xy?(c1?c2x)e?xr1x y?e(c1cos?x?c2sin?x)6.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
形如 y???py??qy?f(x)（其中p,q均为常数,f(x)?0）的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程。
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解：
高数知识汇总之微分方程
