第六章微分方程 6.1微分方程的基本概念
微分方程:
含有未知函数的导数(或微分)的等式称为微分方程。 微分方程的阶:
微分方程中,所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。 微分方程的通解:
如果微分方程的解这中含有任意常数,且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解。 微分方程的特解:
在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解,称为特解。 初始条件:
用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。 积分曲线:
微分方程的特解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分曲线。
6.2一阶微分方程的求解方法
6.2.1 分离变量法
可分离变量的微分方程: 形如
dy?f(x)g(y)的微分方程,称为可分离变量的微分方程。 dx特点:
等式右边可以分解成两个函数之积,其中一个是只含有x的函数,另一个是只含有y的函数. 解法:
当g(y)?0时,把
dydy?f(x)dx,(g(y)?0)对上式两边积?f(x)g(y)分离变量为
g(y)dx?分,得通解为
g(y)
?dy?f(x)dx?C
(这里我们把积分常数C明确写出来,而把一个确定的原函数。)
?dy1,?f(x)dx分别理解为和f(x)的g(y)g(y)6.2.2 齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。
6.2.3 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程:
如果一阶微分方程F(x,y,y?)?0可以写为y??p(x)y?q(x)则称之为一阶线性微分方程,其中p(x)、q(x)为连续函数.当q(x)?0时,此方程为非齐次线性方程的
dy?p(x)y?0,称它为对应于dx1 / 4
齐次线性微分方程;当q(x)?0时,称为非齐次线性微分方程。 解法:
用常数变易法可得其通解为:
y?e??p(x)dxp(x)dx?(?q(x)edx?c)(注:其中每个积分,不再加任意常数C。)
6.4 可降阶的二阶微分方程
6.4.1 不显含未知函数y的二阶方程:y???f(x,y?)
解法: 令
y??p?p(x),则
y???dpdx,方程变为
dp?f(x,p),解之得p,再积分得dxy??p(x)dx,即得通解。
6.4.2 不显含自变量x的二阶方程:y???f(y,y?)
解法:
令y? = p = p(y),则y???解。
dpdp?p,方程变为p?f(y,p),解之得p,再积分得通dydy6.5 二阶线性微分方程
6.5.1
二阶线性微分方程的解的结构
二阶线性微分方程:
形如 y???p(x)y??q(x)y?f(x)的方程,称为二阶线性微分方程。若f(x)?0,称之为二阶齐次线性微分方程;若f(x)?0,称之为二阶非齐次线性微分方程。 齐次线性方程解的叠加原理: 如果函数y1,y2是齐次方程是方程
y???p(x)y??q(x)y?0的两个解,则y?C1y1?C2y2也
1y???p(x)y??q(x)y?0的解,其中C,C2均为任意常数。
齐次线性方程的通解结构: 如果函数y1(x),y2(x)是齐次方程数
y???p(x)y??q(x)y?0的两个线性无关解,则函
y?C1y1?C2y2(C1,C2为任意常数)是方程y???p(x)y??q(x)y?0的通解。
非齐次线性方程的通解结构: 如果y*是方程程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的一个特解,Y? C y?C y是方
1122y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解,则 y? Y? y*? C y?C y ? y* 1122是方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x)的通解。
线性微分方程的解的叠加原理: 若
y1?,y2?分别是方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x),y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的特解,则
y?y1??y2?是方程y???p(x)y??q(x)y?f1(x)?f2(x)的特解。
6.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程:
y???py??qy?0,其中p,q是常数。
特征方程与特征根:
根据y???py??qy?0,可得r那么
2?pr?q?0。只要r的值能使r2?pr?q?0式成立。
y?erx就是y???py??qy?0的解,称r2?pr?q?0为y???py??qy?0的
2特征方程,称r?pr?q?0的根r1,r2为方程特征根。
二阶常系数齐次线性微分方程的通解: 特征方程r?pr?q?0的两个特征根r1,r2 2 微分方程y???py??qy?0的通解 r1?r2r1?r2r1.2???i?
二阶常系数非齐次线性微分方程:
y?c1er1x?c2er2xy?(c1?c2x)e?xr1x y?e(c1cos?x?c2sin?x)6.5.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
形如 y???py??qy?f(x)(其中p,q均为常数,f(x)?0)的方程,称为二阶常系数非齐次线性微分方程。
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解:
高数知识汇总之微分方程
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