第二章 数学家 Ferma 在研究
导数与微分 极值问题中提出.
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国
英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz 微分学
导数 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
一、变化率问题举例二、导数的定义三、导数的几何意义四、单侧导数五、可导与连续的关系导数的概念
一、 变化率问题举例
1. 变速直线运动的速度 o设描述质点运动位置的函数为
f(t0)f(t)t0t?t0??ts则 到 质点走过的路程为
这段时间的平均速度为
f(t0??t)?f(t0) ??t而在 时刻的瞬时速度为
?sf(t)?f(t0)f(t0??t)?f(t0)v0?lim?lim?lim?t?0?tt?t0?t?0t?t0?t2. 曲线的切线斜率 曲线
在 M 点处的切线
yy?f(x)N割线 M N 的极限位置 M T
(当 时)
切线 MT 的斜率
CMTo??x0xx?limtan?f(x)?f(x0) 割线 M N 的斜率 tan??x?x0 f(x)? f(x0)f(x??x)?f(x)00k?lim?limx?xx?x00?x?0?x???瞬时速度
f(x0??x)?f(x0)切线斜率 k?lim?x?0?x两个问题的共性:
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
函数的变化率问题
二、导数的定义
定义1 . 设函数
若极限
在点 的某邻域内有定义 ,
?yf(x0??x)?f(x0)lim?lim?x?0?x?x?0?x在点 处可导, 并称此极限为
存在, 则称函数
在点 的导数. 记作:
dydf(x)y?x?x0;f?(x0);;dxx?x0dxx?x0即
?y?yx?x0?f?(x0)?lim?x?0?x导数定义的表现形式
在 令 则定义变为
当
中,
时,
说明:
?yf(x0??x)?f(x0)lim?lim?x?0?x?x?0?xx0不可导. 若上述极限不存在 , 就说函数 在点 ?y若 lim在 的导数为无穷大 . ??,也称 ?x?0?x若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
dydf(x).;记作: y?;f?(x);dxdxf(x??x)?f(x)即: f?(x)?lim?x?0?x例1. 求函数 (C 为常数) 的导数.
即
的导数.
f(x??x)?f(x)解: y??lim?x?0?x例2. 求函数 解:
?y?lim?x?0?x?nxn?1即
说明：
对一般幂函数 y?x( ?为常数)
?(x)??1例如，
(x?)???x??1( x)??(x12)??1x?122?12x?1??1x??(x?1)???x?1?1?x2(1)??(x?34)???3x?74xx42x???1?1?x????x2例3. 求函数 解:
则
的导数.
f(x?h)?f(x)sin(x?h)?sinx?lim?limh?0h?0hhh?lim2cos(x?)2h?0h?limcos(x?)h?02即
?cosx(sinx)??cosx(cosx)???sinx类似可证得
例4. 求指数函数 解:
的导数.
x?haf(x?h)?f(x)?lim?limh?0hh?0hlnah?ahxe?1a?1x?alim?alimh?0h?0hhx?alimh?0xehlna?1hhlna?alimh?0hx?alnax即 (a)??alnaxx特别， (e)??exx三、 导数的几何意义
曲线
在点
yy?f(x)的切线斜率为 tan??f?(x0)若 若
切线与 x 轴平行, 切线与 x 轴垂直 .
CMx0To?x称为驻点;
yox0x曲线在点
切线方程:
处的
法线方程:
(f?(x0)?0)例5.
解:
?切线斜率k1?y?切线方程为
1x?21??2x1x?2??4,即
11所求法线斜率k2???,k14法线方程为
即
四、 单侧导数
1. 左、右导数的定义 定义2 . 设函数 有定义, 若极限
(?x?0?)?在点 的某个右 (左) 邻域内
x0(?x?0)存在, 则称此极限值为 (左) 导数, 记作 在 处的右
统
称单侧导数
?(x0)(f?f??(x0))即
?(x0)?f?f(x0??x)?f(x0)f??(x0)?lim??x?0?x定理1. 函数 是
简写为 f?(x0)存在 在点 且
可导的充分必要条件
f??(x0)在点
处有切线. 处有左切线. 处有右切线.
注意: f?(x0)存在,
存在, 称 存在, 称
在点 处有切线
在点
在点
在点 处左右切线共线
2. 单侧导数定义的另一表现形式
3. 函数在闭区间[a, b]上可导 若函数
在开区间 内可导, 且
在闭区间 上可导.
与 f??(b)都存在 , 则称
例6. 讨论
在 x = 0 处是否可导.
y?xyo解:
x因为在 x = 0 处左右导数不相等，
所以,
在 x = 0 处不可导.
例7. 设 存在, 求极限
f(x0?2?x)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)(1)lim,(2)lim.解: ?x?0?xh?0(1)f(x0?2?x)?f(x0)?limx?0?x?2(2limf(x0?2?x)?f(x0)?x)?02?x?2f?(x0)(2)limf(x0?h)?f(x0)h?0h??limf(x0?h)?f(x0)h?0?h??f?(x0)h五、 可导与连续的关系
定理2.
反之: 函数在点 x 连续 可导. 如1: 如2:
y?x在 x = 0 处连续 , 但不可导. 在 x = 0 处连续 , 但不可导.
yoyoxx内容小结 1. 导数的实质: 增量比的极限;
f??(x0)?f??(x0)?a2. f?(x0)?a3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 :
(C)??0;(cosx)???sinx;(a)??alna;xx(e)??exx不连续, 一定不可导;
6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
思考与练习 1. 函数 在某点 处的导数
与导函数
有什么区别与联系 ? 区别:
f?(x)是函数 , f?(x0)是数值;
联系: f?(x)x?x0?f?(x0)注意:
f?(x0)？?[f (x0)]?2. 已知
则
k0备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1f(1?(?x))?f(1)?lim2x?0(?x)所以
2. 设 在 证：因为 又 所以 即
在
在
处连续, 且
存在， : 证明
处可导.
则有存在，
处连续, 故
f(x)?f(0)limx?0x在
处可导.
1导数的概念 - 图文
