2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的． （1）【2014年广东，理1，5分】已知集合M?{?1,0,1}，N?{0,1,2}，则MN?（ ）
（A）{?1,0,1} （B）{?1,0,1,2} （C）{?1,0,2} （D）{0,1} 【答案】B
【解析】MN?{?1,0,1,2}，故选B． （2）【2014年广东，理2，5分】已知复数z满足(3?4i)z?25，则z?（ ）
（A）3?4i （B）3?4i （C）?3?4i （D）?3?4i 【答案】A
2525(3?4i)25(3?4i)=??3?4i，故选A． 【解析】z?3?4i(3?4i)(3?4i)25?y?x?（3）【2014年广东，理3，5分】若变量x,y满足约束条件?x?y?1且z?2x?y的最大值和最小值分别为M和m，
?y??1?则M?m?（ ）
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】C 【解析】画出可行域，易知在点(2,1)与(?1,?1)处目标函数分别取得最大值M?3，与最小值m??3，?M?m?6，
故选C．
x2y2x2y2（4）【2014年广东，理4，5分】若实数k满足0?k?9，则曲线???1的（ ） ?1与曲线
25?k9259?k （A）离心率相等 （B）虚半轴长相等 （C）实半轴长相等 （D）焦距相等 【答案】D
【解析】0?k?9，?9?k?0，25?k?0，从而两曲线均为双曲线，又25?(9?k)?34?k?(25?k)?9，两
双曲线的焦距相等，故选D．
（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量a??1,0,?1?，则下列向量中与a成60?夹角的是（ ）
（A）??1,1,0? （B）?1,?1,0? （C）?0,?1,1? （D）??1,0,1? 【答案】B 【解析】(1,0,?1)?(1,?1,0)12?02?(?1)2?12?(?1)2?02?11，即这两向量的夹角余弦值为，从而夹角为600，故选A． 22（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分
别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
（A）200,20 （B）100,20 （C）200,10 （D）100,10 【答案】A
【解析】样本容量为(3500?4500?2000)?2%?200，抽取的高中生近视
人数为：2000?2%?50%?20，故选A．
（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2，l2?l3，l3?l4则下列结
论一定正确的是（ ）
（A）l1?l4 （B）l1//l4 （C）l1,l4既不垂直也不平行 （D）l1,l4的位置关系不确定 【答案】D
【解析】平面中的四条直线，l1?l4，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D．
1
（8）【2014年广东，理8，5分】设集合A=??x1,x2,x3,x4,x5?xi?{?1,0,1},i?1,2,3,4,5?，那么集合A中满足条件
“1?x1?x2?x3?x4?x5?3”的元素个数为（ ）
（A）60 （B）90 （C）120 （D）130 【答案】D
1【解析】x1?x2?x3?x4?x5可取1,2,3，和为1的元素个数为：C12C5?10；和为2的元素个数为：
2213112C12C5?A5?40；和为3的元素个数为：C2C5?C2C5C4?80，故满足条件的元素总的个数为10?40?80?130，故选D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~13） （9）【2014年广东，理9，5分】不等式x?1?x?2?5的解集为 ．
【答案】???,?3??2,???
【解析】数轴上到1与?2距离之和为5的数为?3和2，故该不等式的解集为：???,?3?（10）【2014年广东，理10，5分】曲线y?e?5x?2在点(0,3)处的切线方程为 ． 【答案】5x?y?3?0 【解析】y'??5e?5x，?y'x?0?2,???．
??5，?所求切线方程为y?3??5x，即5x?y?3?0．
（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率
为 ．
1【答案】
6【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率
3C61为7?． C106（12）【2014年广东，理12，5分】在?ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，已知bcosC?ccosB?2b，
a则? ． b【答案】2
a【解析】解法一：由射影定理知bcosC?ccosB?a，从而a?2b，??2．
b 解法二：由上弦定理得：sinBcosC?sinCcosB?2sinB，即sin(B?C)?2sinB，?sinA?2sinB，即
aa?2b，??2．
ba2?b2?c2a2?c2?b2a 解法三：由余弦定理得：b???2b，即2a2?4ab，?a?2b，即?2．
2ab2acb（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列?an?的各项均为正数,且a10a11?a9a12?2e5,则
lna1?lna2??lna20? ． 【答案】50
【解析】a10a11?a9a12，?a10a11?e5，设S?lna1?lna2??lna20，则S?lna20?lna19??lna1，
?2S?20lna1a20?20lna10a11?20lne5?100，?S?50．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） （14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为
?sin2??cos?和?sin??1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标
系，则曲线C1和C2的交点的直角坐标为 ． 【答案】(1,1)
【解析】C1即(?sin?)2??cos?，故其直角坐标方程为：y2?x，C2的直角坐标系方程为：y?1，?C1与C2的
交点的直角坐标为(1,1)．
（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，
2
点E在AB上且EB?2AE，AC与DE交于点，则【答案】9
?CDF的面积? ．
?AEF的面积?CDF的面积CD2EB?AE2?()?()?9．
?AEF的面积AEAE 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
?53（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数f(x)?Asin(x?),x?R，且f(?)?．
4122（1）求A的值；
3?3（2）若f(?)?f(??)?，??(0,)，求f(???)．
224325?5??2?3解：（1）f()?Asin(?)?Asin?3． ?，?A??231212432【解析】显然?CDF?AEF，?
（2）由（1）得：f(x)?3sin(x?)，?f(?)?f(??)?3sin(??)?3sin(???)
444???????3?cos?sin)?3(sin(??)cos?cos(??)sin)?23cos?sin?6cos??， 444442610?，??(0,)，?sin??， ?cos??4423?3??1030． ?f(??)?3sin(???)?3sin(???)?3sin??3??44444（17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），
获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 频数 频率 [25,30] 3 0.12 (30,35] 5 0.20 (35,40] 8 0.32 (40,45] n1 f1
?3(sin?cos?(45,50]
n2 f2
（1）确定样本频率分布表中n1,n2,f1和f2的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； （3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间?30,35?的概率． 解：（1）n1?7，n2?2，f1?72?0.28，f2??0.08． 2525（2）频率分布直方图如下所示：
（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间?30,35?的概率为0.2，设日加工零件数落在区
间?30,35?的人数为随机变量?，则?
B2)0.,4(，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间?30,35?3
0的概率为：1?C4(0.2)0(0.8)4?1?0.4096?0.5904．
（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形ABCD 为正方形，?DPC＝30?，PD?平面ABCD，
AF?PC于点F，FE//CD，交PD于点E． （1）证明：CF?平面ADF；
（2）求二面角D－AF－E的余弦值．
?平面PCD?平面ABCD，解：（1）平面PCD平面ABCD?CD， PD?PCD，PD?平面ABCD，
AD?平面ABCD，AD?CD，?AD?平面PCD，CF?平面PCD，?CF?AD，又 AF?PC，?CF?AF，AD,AF?平面ADF，ADAF?A，?CF?平面ADF． （2）解法一：
过E作EG//CF交DF于G，CF?平面ADF，?EG?平面ADF，过G作GH?AF于H，连EH
1则?EHG为二面角D?AF?E的平面角，设CD?2，?DPC?300，从而CF=CD=1， ??CDF?300，
21DE23DECF3=，?DE?，即，还易求得EF?，DF?3，从而 CP?4，EF∥DC，??2DPCP223233193??DE?EF3AE?EF1932222?319，，AF?7，EF?，?EH? EG???，易得AE??2DF4AF23747363GH6347257)2?()2????，?cos?EHG?．
4EH47319194747解法二：分别以DP，DC，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DC?2，则A(0,0,2)故HG?(319，C(0,2,0)，
P(23,0,0)，设CF??CP，则F(23?,2?2?,0)，E(DF?CF，可得??
331
，从而F(,,0)，易得
224
31 ,0,0)，取面ADF的一个法向量为n1?CP?(3,?1,0)，设面AEF的一个法向量为n2?(x,y,z)，
22n?n43257AF?0，?利用n2?AE?0，且n2?得n2可以是(4,0,3)，从而二面角的余弦值为12?．
19|n1|?|n2|2?19（19）【2014年广东，理19，14分】设数列?an?的前n和为Sn,满足Sn?2nan?1?3n2?4n,n?N*，且S3?15．
（1）求a1,a2,a3的值； （2）求数列?an?的通项公式．
解：（1）a1?S1?2a2?3?12?4?1?2a2?7 ①
a1+a2=S2?4a3?3?22?4?2?4(S3?a1?a2)?20?4(15?a1?a2)?20，?a1+a2?8 ②
?a1?3 联立①②解得?，?a3?S3?a1?a2?15?8?7，综上a1?3，a2?5，a3?7．
a?5?2（2）Sn?2nan?1?3n2?4n ③ ?当n?2时，Sn?1?2(n?1)an?3(n?1)2?4(n?1) ④
2n?16n?1 ③?④并整理得：an?1?，由（1）猜想an?2n?1，以下用数学归纳法证明： an?2n2n （ⅰ）由（1）知，当n?1时，a1?3?2?1?1，猜想成立；
（ⅱ）假设当n?k时，猜想成立，即ak?2k?1，则当n?k?1时，
2k?16k?12k?114k2?11ak?1?ak???(2k?1)?3???3??2k?3?2(k?1)?1，
2k2k2k2k2k2k 这就是说n?k?1时，猜想也成立，从而对一切n?N?，an?2n?1．
5x2y2（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点为(5,0)，离心率为．
3ab（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
4
x2y2c55222解：（1）c?5，e??，?a?3，b?a?c?9?5?4，?椭圆C的标准方程为：??1． ?aa394（2）若一切线垂直x轴，则另一切线垂直于y轴，则这样的点P共4个，它们的坐标分别为(?3,?2)，(3,?2)．
若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为y?y0?k(x?x0)，即y?k(x?x0)?y0，将之代入椭圆方程
x2y2??1中并整理得：(9k2?4)x2?18k(y0?kx0)x?9?(y0?kx0)2?4????0，依题意，??0， 942222即(18k)2(y0?kx0)2?36??(y0?kx0)?4??(9k?4)?0，即4(y0?kx0)?4(9k?4)?0， y02?4??1，?x02?y02?13，?(x0?9)k?2x0y0k?y0?4?0，两切线相互垂直，?k1k2??1，即2 x0?9222显然(?3,?2)，(3,?2)这四点也满足以上方程，?点P的轨迹方程为x2?y2?13．
1（21）【2014年广东，理21，14分】设函数f(x)?，其中k??2．
(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）； （2）讨论f(x)在区间D上的单调性；
（3）若k??6，求D上满足条件f(x)?f(1)的x的集合（用区间表示）．
解：（1）(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3?0，则x2?2x?k?1 ① 或 x2?2x?k??3 ② 由①得：x2?2x?k?1?0，?1?4?4(k?1)?4(2?k)?0(k??2)，
?方程x2?2x?k?1?0的解为?1?2?k，?由x2?2x?k?1?0得x??1?2?k或x??1?2?k， 由②得x2?2x?k?3?0，方程x2?2x?k?3?0的判别式?2?4?4(k?3)?4(?2?k)?0(k??2)， ?该方程的解为?1??2?k，由x2?2x?k?3?0得?1??2?k?x??1??2?k．
k??2，??1?2?k??1??2?k??1??1??2?k??1?2?k， ?D?(??,?1?2?k)(?1??2?k,?1??2?k)(?1?2?k,??)． （2）设u?(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3?0，
3?1?32222?则f(x)???u??2(x?2x?k)?(2x?2)?2(2x?2)? ??2u(x?1)?(x?2x?k?1)， ?2（ⅰ）当x?(??,?1?2?k)时，x?1?0，x2?2x?k?1?1?1?0，?f'(x)?0；
'（ⅱ）当x?(?1??2?k,?1)时，x?1?0，x2?2x?k?1??3?1?0，?f'(x)?0； （ⅲ）当x?(?1,?1??2?k)时，x?1?0，x2?2x?k?1??3?1?0，?f'(x)?0； （ⅳ）当x?(?1?2?k,??)时，x?1?0，x2?2x?k?1?1?1?0，?f'(x)?0． 综上，f(x)在D上的单调增区间为：(??,?1?2?k),(?1,?1??2?k)， f(x)在D上的单调减区间为：(?1??2?k,?1),(?1?2?k,??)． （3）设g(x)?(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3，由（1）知，当x?D时，g(x)?0； 又g(1)?(3?k)2?2(3?k)?3?(k?6)(k?2)，显然，当k??6时，g(1)?0， 从而不等式f(x)?f(1)?g(x)?g(1)，
g(x)?g(1)?[(x2?2x?k)2?2(x2?2x?k)?3]?[(3?k)2?2(3?k)?3]
?[(x2?2x?k)2?(3?k)2]?2[(x2?2x?k)?(3?k)]?(x?3)(x?1)(x2?2x?2k?5)，k??6，
??1??4?2k??1?2?k??1??2?k??3?1??1??2?k??1?2?k??1??4?2k （ⅰ）当x??1?2?k时，(x?3)(x?1)?0，?欲使f(x)?f(1)，即g(x)?g(1)，
亦即x2?2x?2k?5?0，即?1??4?2k?x??1??4?2k??1??4?2k?x??1?2?k；
?1??2?k?x??3时，x2?2x?2k?5?(x2?2x?k)?(k?5)??3?(k?5)?0， （ⅱ）(x?3)(x?1)?0，此时g(x)?g(1)，即f(x)?f(1)；
（ⅲ）?3?x?1时，(x?3)(x?1)?0，x2?2x?2k?5??3?(k?5)?0?g(x)?g(1)不合题意；
5
（ⅳ）1?x??1??2?k时，(x?3)(x?1)?0，x2?2x?2k?5??3?(k?5)?0，?g(x)?g(1)， 不合题意；
（ⅴ）x??1?2?k时，(x?3)(x?1)?0，?欲使g(x)?g(1)，则x2?2x?2k?5?0，
即?1??4?2k?x??1??4?2k，从而?1?2?k?x??1??4?2k．
综上所述，f(x)?f(1)的解集为：
??1?
?4?2k,?1?2?k???1??2?k,?3??1,?1??2?k???1?2?k,?1??4?2k．
?6
2014年高考广东理科数学试题及答案（word解析版）
