习 题3.1
1． 在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品．从这10件产品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数，求(X,Y)的分布列．
解 X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3，因此(X,Y)的可能取值为{(i,j):i?0,1,2;j?0,1,2,3}，且有
213C7?C1C72135， ， P(X?0,Y?2)??P(X?0,Y?3)??33C10120C1012011112C2?C7?C1C2?C71442，， P(X?1,Y?1)??P(X?1,Y?2)??33C10120C101202121C2?C7C2?C117， ． P(X?2,Y?0)??P(X?2,Y?1)??33C10120C10120由此，(X,Y)的分布列可以由下表给出
Y X 0 1 2 0 1 2 3 0 0 21/120 35/120 0 14/120 42/120 0 1/120 7/120 0 0 ?e?y，0?x?y；4． 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)??，求P(X?Y≤1)．
?0，其它.解 P(X?Y≤1)?x?y≤10?x?y??edxdy??dx??y1201?xxedy?1?e?2e．
?y?1?12??Axy, 0≤x≤4,0≤y≤x ；5． 设(X,Y)的密度函数为f(x,y)??，
0, 其它. ??求：(1)常数A；(2)P{X≤1,Y≤1}．
解 （1）由联合密度函数的性质??????????f(x,y)dxdy?1，有
?40dx?x0Axydy?1，得 A?3． 32（2）P(X≤1,Y≤1)?x≤1,y≤10≤x≤4,0≤y≤x??x3311． xydxdy??xdx?ydy?0032326410． 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只． 定义下列随机变量：
?1, 第一次取到白球；?1, 第二次取到白球； Y?? X??0, 第一次取到黑球.0, 第二次取到黑球.??分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：(1) (X,Y)的联合分布列；(2)两次摸到同样颜色球的概率．
解 （1）有放回抽样：由事件的独立性条件得(X,Y)的联合分布列为
339326， P(X?0,Y?0)???， P(X?0,Y?1)???55255525236224， P(X?1,Y?1)???． P(X?1,Y?0)???55255525如下表
Y
0 1 X 0 1 9/25 6/25 6/25 4/25 两次摸到同样颜色球的概率为
P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?9413． ??252525（2）无放回抽样：由乘法定理得(X,Y)的联合分布列为
326326， P(X?0,Y?1)???， P(X?0,Y?0)???54205420236212， P(X?1,Y?1)???． P(X?1,Y?0)???54205420如下表
两次摸到同样颜色球的概率为
P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)?0.3?0.1?0.4．
Y X 0 1 0 1 0.3 0.3 0.3 0.1 习 题3.2
2． 已知(X,Y)的联合分布函数为
?1?e?x?e?y?e?(x?y)， x?0,y?0；， F(x,y)?? ? 0， 其它.求：（1）边缘分布函数；（2）联合密度函数及边缘密度函数；（3）判断X与Y的独立性．
解 （1）FX(x)?limF(x,y)?1?e?x,(x?0)
y??? FY(y)?limF(x,y)?1?e?y,(y?0)
x????1?e?x,x?0;?1?e?y,即有 FX(x)??， FY(y)??x≤0.?0,?0,?2F(x,y)?e?(x?y),x?0,y?0;（2）f(x,y)? ???x?y其它.?0,fX(x)??fY(y)????????y?0;． y≤0.f(x,y)dy??e0???(x?y)dy?e?x????0??e?ydy?e?x,(x?0) e?xdx?e?y,(y?0)
??f(x,y)dx??e0???(x?y)dx?e?y0?e?x,x?0;?e?y,故 fX(x)??， fY(y)???0,x≤0.?0,y?0;． y≤0.（3）由于 f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X,Y相互独立．
3． 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中有放回的任取两次，每次取一只，以X，Y分别表示第一次、第二次取到球的颜色．求：（1）X和Y的联合分布列；（2）X和Y的边缘分布列；（3）判断X和Y的独立性．
解 定义下列随机变量：
?1, 第一次取到白球;?1, 第二次取到白球;X?? Y??
?2, 第一次取到黄球.?2, 第二次取到黄球.（1）在有放回取球条件下
111122P(X?1,Y?1)???， P(X?1,Y?2)???，
339339212224P(X?2,Y?1)???， P(X?2,Y?2)???．
339339
Y X 1 2 .1 2 1/9 2/9 2/9 4/9 （2）边缘分布列
X P 1 2 1/3 2/3
Y P 1 2 1/3 2/3 （3）由于P{X?i,Y?j}?P{X?i}?P{Y?j},i?1,2;j?1,2，所以X,Y相互独立．
5． 随机变量(X,Y)在区域{(x,y)|a?x?b,c?y?d}上服从均匀分布，求
(X,Y)的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量X,Y是否独立．
解 区域{(x,y)|a?x?b,c?y?d}的面积为SD?(b?a)(d?c)， 所以(X,Y)的联合密度函数
1?,a?x?b,c?y?d;? f(x,y)??(b?a)(d?c)?0, 其它.?X和Y的边缘密度函数
fX(x)??fY(y)????d11f(x,y)dy?dy?,(a?x?b)
(b?a)(d?c)?cb?ab11dx?,(c?y?d) ?a(b?a)(d?c)d?c??????f(x,y)dx??1?1, c?y?d;, a?x?b;?故 fX(x)?? ， ． f(y)?d?cb?a??Y?0,?0,? 其它.? 其它.由于 f(x,y)?fX(x)fY(y)，所以X,Y独立．
8． 甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为0.2，0.5，求甲、乙命中次数X与Y的联合概率分布．
kkp(1?p)n?k可解 依题意，X~b(2,0.2),Y~b(2,0.5)，据公式P(X?k)?Cn算得X和Y的概率分布分别为
12?12??0?0，X~??Y~??．
?0.640.320.04??0.250.50.25?由X和Y的独立性可得X和Y的联合概率分布为
Y X 0 1 2 .0 1 2 0.16 0.32 0.16 0.08 0.16 0.08 0.01 0.02 0.01 习 题3.3
M?max(X,Y)012341. （1）；
P0.10.150.250.40.1m?min(X,Y)0123；
P0.440.340.140.08M?m01234567（2）.
P0.0440.10.1750.290.2270.110.0460.008?3x，0?x?1,0?y?x；5. 设随机变量（X,Y）的密度函数为f(x,y)??
0， 其它.?1求P(X?Y?).（修改后的题）
21解 P(X?Y?)?2??x?y?120f(x,y)dxdy
12x1x1x?2 ??3xdx?dy+?13xdx?02dy?1911+? 81616
概率论第二版第3章习题答案讲解
