必修二 第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当??0,90时，k?0； 当??90,180在。
②过两点的直线的斜率公式：k?????????时，k?0； 当??90时，k不存
?y2?y1(x1?x2) （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）
x2?x1注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P1、P2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程 ①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1? 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
④截矩式：?
⑤一般式：Ax?By?Cy?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2? y2?y1x2?x1xy?1其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴ab的截距分别为a,b。 ?0（A，B不全为0）
1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：○平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （6）两直线平行与垂直 当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时， l1//l2?k1?k2,b1?b2； l1?l2?k1k2??1 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点
l1:A1x?B1y?C1?0 l2:A2x?B2y?C2?0相交
A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合 （8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点， Bx2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2
（9）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?C 22A?B
（10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，
l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2A?B22 直线的方程
1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a）、B（b，b）、C（c，c）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC， a3?b3a3?c32222
?∴，化简得a+ab+b=a+ac+c，a?ba?c3
3
3
∴b-c+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0， ∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0. 2.若实数x,y满足等式(x-2)+y=3，那么
1 22
2
22
y的最大值为 x （ ）
A.
B.
33 C.
3 2 D.3
答案D
3.求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx中，得k=-22，此时，直线方程为y=-x, 即2x+5y=0. 55yx1?=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-， 2aa2②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为
此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
4.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.
解 方法一 设直线l的方程为∴A(a,0),B(0,b), ?ab?24,?a?6,?∴?32解得?
b?4.??1.??ab?xy??1（a＞0,b＞0）, ab∴所求的直线方程为
xy?=1,即2x+3y-12=0. 64方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-2,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k. k222??∴?3??(2-3k)=24.解得k=-.∴所求直线方程为y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.
33k??9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.
解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点. kAP=则-∴-?1?1?1?23=-2，kAQ==， 0?10?22113≥或-≤-2， mm221≤m≤且m≠0.又∵m=0时直线x+my+m=03221≤m≤. 322?114(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0, 2?133与线段PQ有交点，∴所求m的取
值范围是-
方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1=整理，得x=-
7m7m21. 由已知-1≤-≤2, 解得-≤m≤.
m?3m?332两直线方程
例1 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a-1=0, （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1⊥l2时，求a的值.
解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;
当a=0时，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1:y=-a1x-3,l2:y=x-(a+1), 21?a2
1?a???l1∥l2??21?a，解得a=-1,
??3??(a?1)?
综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
2
方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C1≠0，得a(a-1)-1×6≠0,
??a(a?1)?1?2?0∴l1∥l2??
2?a(a?1)?1?6?0?2??a?a?2?0???a=-1,
2??a(a?1)?6
故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行.
（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直，故a=1不成立.
当a≠1时，l1:y=-
a112?a?x-(a+1), 由???·x-3,l2:y==-1?a=. 1?a23?2?1?a 方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0?a=
2. 3
例3 已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程. 解 方法一 若直线l的斜率不存在，
则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是A（3，-4），B（3，-9）， 截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.
若直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线l1,l2的方程联立，
由??y?k(x?3)?1?3k?2x?y?1?0,解得A?,1?4k??.
??k?1k?1?
8分
由??y?k(x?3)?1y?6?0,解得B?3k?71?9?x???k?1，k?k?1??,
由两点间的距离公式，得
?22?3k?2?k?1?3k?7??1?4k?1??+?k?k?1?1?9k?k?1??=25， 解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.
方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,
两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 ①
6又(x2
2
1-x2)+(y1-y2)=25
② 联立①②可得??x1?x2?5?x1?x2
?y1?y或??0,
102?0?y1?y2?5由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x=3或y=1.
例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.
解 方法一 由??y?2x?3y?x?1 知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），
?∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.
在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得 k?2?2k?1=
2?2?3，
12?k222?(?1)2解得k=
12(k=2舍去)，∴直线l2的方程为x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点P（x,y）,
则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称. 由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点
??y0?yP?x?xx?x?1??1??0y?y0??x2??2,2??在直线l上.∴??00?y?1?y?y，变形得?y?x?1, ?0?2?x?x0?02?1代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.
直线与方程
分
分
1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则 A.0°≤?＜180° 答案 D
2.曲线y=x-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为
A.30° 答案 B
3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为
A.1 答案 A
4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为
A.2x+y=0 答案 A
5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
（ ）
B.x-2y+5=0 C.x-2y=0
D.x+2y-5=0
B.4
( )
C.1或3
D.1或4
B.45°
3
（ ）
B.0°≤?＜135°
C. 0°＜?≤135° D. 0°＜?＜135°
（ ）
D.120°
C.60°
例1 已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）. 求证：A、B、C三点在同一条直线上.
证明∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5）， ∴kAB=
3?15?3=2,kBC==2，∴kAB=kBC， 3?14?3∴A、B、C三点共线.
例2已知实数x,y满足y=x-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：解 由
y?3的最大值与最小值. x?2y?3的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,x?22
如图可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴
y?344≤k≤8，故的最大值为8，最小值为.
x?233例3 求适合下列条件的直线方程：
（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；
（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a,
若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=若a≠0，则设l的方程为
2x，即2x-3y=0. 332xy??1，∵l过点（3，2），∴??1，∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0, abaa综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习答案
