专题21 利用导数解决函数的恒成立问题
一、单选题
1．已知a，b为实数，不等式ax?b?lnx恒成立，则A．?2 【答案】B 【分析】
不等式ax?b?lnx恒成立，设f?x??lnx?ax?b，即f?x??0恒成立，求出f??x??B．?1
C．1
b的最小值为（ ） aD．2
1?ax，分析得x出函数f?x?的单调区间，求出函数f?x?的最大值，从而可得f?x?max?0,即b??lna?1，设
g?a???lna?1，求出g?a?的最小值即可得出答案. a【详解】
设f?x??lnx?ax?b，则ax?b?lnx恒成立等价于f?x?max?0成立， 显然a?0时不合题意．当a?0时，f??x??∴当0?x?11?ax?a?， xx11时，f??x??0，当x?时，f??x??0， aa?1??1?0,fx则??在??上单调递增，在?,???上单调递减， ?a??a?∴f?x?max?f?令g?a??b?lna?1?1??1??ln， ????1?b?0?b??lna?1，∴?aa?a??a?lna?lna?1，则g??a??2， aa当0?a?1时，g??a??0，g?a?在?0,1?上单调递减， 当a?1时，g??a??0，g?a?在?1,???上单调递增， ∴g?a?min?g?1???1，∴故选：B 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决范围问题，求解本题的关键有两点：一是对问题进行等价转化，即设
?b?b??1，????1，此时a?1，b??1． a?a?minf?x??lnx?ax?b，ax?b?lnx恒成立等价于f?x?max?0成立初步判断出a的取值范围；二是求出
b?lna?1b?之后，构造函数，利用导数求函数的最小值，进而求得的最小值．属于难题.
aaa2．已知函数f(x)?ex?b?ax?a,b?R?，且f(0)?1，当x?0时，f(x)?xcos(x?1)恒成立，则a的取值范围为（ ） A．0,C．???,e? 【答案】B 【分析】 由f?0??e?b
B．?1?e,??? D．?e,???
ex?1，可得b?0，从而f(x)?e?ax，从而当x?0时，a?cos(x?1)?恒成立，构造函
xxex数s?x??,x??0,???，可得s?x?min?s?1??e，结合x?1时，cos(x?1)取得最大值1，从而
xexcos(x?1)?的最大值为1?e，只需a?1?e即可.
x【详解】 由题意，f?0??ex?b?1，解得b?0，则f(x)?ex?ax，
ex则当x?0时，e?ax?xcos(x?1)，即a?cos(x?1)?恒成立，
xex?x?1?ex令s?x??， ,x??0,???，则s??x??2xx当x??0,1?时，s??x??0，x??1,???时，s??x??0， 所以s?x?在0,1上是减函数，在1,是增函数，s?x?min?s?1??e，
又因为当x?1时，cos(x?1)取得最大值1，
ex所以当x?1时，cos(x?1)?取得最大值1?e，
x所以a?1?e. 故选：B. 【点睛】
ex关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为a?cos(x?1)?，进而求出
xexcos(x?1)?的最大值，令其小于a即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
x3．已知函数f?x??a?2sin?x???6?x??xlna（a?0，且a?1），对任意x1,x2??0,1?，不等式?f?x2??f?x1??a?2恒成立，则实数a的最小值是（ ）
A．e2 【答案】A 【分析】
由导数求得f?x?在[0,1]上单调递增，求得函数的最值，把任意x1,x2?0,1，不等式
B．e
C．3
D．2
??f?x2??f?x1??a?2恒成立，转化为f?x?max?f?x?min?a?2，进而求得a的取值范围，得到最小值.
【详解】
由题意，显然a?2， 因为函数f?x??a?2sin?x???6???x??xlna，可得f??x??lna(ax?1)?cos(x)，
36?x又由x?[0,1],a?2，可得lna?0,a?1?0,?3cos(?6x)?0，
故f??x??0，函数f?x?在[0,1]上单调递增， 故f?x?max?f(1)?a?1?lna,f?x?min?f(0)?1， 对任意x1,x2?0,1，不等式f?x2??f?x1??a?2恒成立， 即f?x?max?f?x?min?a?2，
所以a?1?lna?1?a?2，即lna?2，解得a?e2， 即实数a的最小值为e2. 故选：A. 【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
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专题21 利用导数解决函数的恒成立问题(解析版)
