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概率论与数理统计作业
班级 姓名 学号 任课教师
第三章 多维随机变量及其分布
教学要求：
一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数；
二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念；
五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）.
重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变
量的独立性.
难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布
1．填空题
(1)设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，且a?b,c?d，则
P{X?a}?F?a,???； P{Y?d}?1?F???,d?； P{a?X?b,c?Y?d}?F(b,d)?F(a,d)?F(b,c)?F(a,c).
(2)设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则其分布函数F(x,y)=
??????????f(x,y)dxdy；若G是xoy平面上的区域，则点(X,Y)落在G内的概率，即
P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdy
G（3）若二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)?A (x?0,y?0)， 22(1?x)(1?y)则系数A?4?2,P{X?1}?1. 2??x??y???C?arctan?, 2??3?（4）设二维随机变量(X,Y)的分布函数F?x,y??A?B?arctan则常数 A=
1?2， B=
??， C=. 221文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
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2.将2个球随机地放入3个盒子，设X表示第一个盒子内放入的球数，Y表示有球的 盒子个数.求二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.
11解：按古典概型，2个球随机地放入3个盒子中共有C3C3?9种取法，X的所有可
能取值为0，1，2，Y的所有可能取值为1，2，则： P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}? P{X P{X P{X P{X P{X 分布律为： 3.设盒正品，每次从地取两次。用的件数，用Y件数，求X412??， 929412?0,Y?2}?P{X?0}P{Y?2|X?0}???，
9294?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1|X?1}??0?0，
944?1,Y?2}?P{X?1}P{Y?2|X?1}??1?，
9911?2,Y?1}?P{X?2}P{Y?1|X?2}??1?，
991?2,Y?2}?P{X?2}P{Y?2|X?2}??0?0．
9 0 1 2 2/9 2/9 1 0 4/9 2 1/9 0 内产品有2件次品，3件中任取一件产品，不放回X表示第一次取得次品表示第二次取得次品的和Y的联合分布律.
解:?X,Y?的所有可
能取值为 ?0,0? ；?0,1? ；?1,0? ；?1,1? .由乘法公式可得：
323??， 5410323 P{X?0,Y?1}?P{X?0}P{Y?1|X?0}???，
5410233 P{X?1,Y?0}?P{X?1}P{Y?0|X?1}???，
5410211 P{X?1,Y?1}?P{X?1}P{Y?1|X?1}???．
5410 P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{Y?0|X?0}?所以?X,Y?的分布律为：
0 1 2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
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维随机变量(X,Y)的概率
4. 设二密
度
为
0 1 3/10 3/10 3/10 1/10 ?Ae??3x?2y?,x?0,y?0, f?x,y???0,其它；?（1）求系数A；（2）求P{0?X?1,0?Y?2}；（３）求分布函数F(x,y)．
解：（1）由所以 A?6．
（2）P{0?X?1,0?Y?2}???????????f(x,y)dxdy?1,得
?102dx?6e??3x?2y?dy??3?e?3x[e?2y]0dx 0021（3）F(x,y)??x??dx?y???xdxy6e??3x?2y?dy,x?0,y?0,???f(x,y)dy??0x0y
dx0dy,其它；?????????k(6?x?y),0?x?2, 2?y?4,5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??
0,其它．?(1)求常数k；(2) 求P{X?1,Y?3}；(3) 求P{X＋Y?4}.
解：（1）由
??????????f(x,y)dxdy?1,得
?k10y?y所以k?1/8
?242??8k?1 .
1?208(6?x?y)dx
（3） P{X＋Y?4}?P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdy
（2）P{X?1,Y?3}?3dy?1G练习二 二维随机变量的边缘分布
1．填空
（1）设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
0 1 0 0.1 0.3 1 0.2 0.05 2 0 0.1 3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
概率统计第三章答案(3)
