利用导数证明不等式的规律
方 法
作差构造函数
证明不等式：证明:f(x)>g(x)(x∈D),令F(x)=f(x)-g(x)(x∈D),只须证明F(x)min>0(x∈D)即可,从而把证明不等式
问题转化求F(x)min问题 典型例题(1)
变形构造函数证明不等式：常采用两边取对数(指数),移项通分，换元法等途径，将所证不等式进行等价变
形，然后构造函数. 利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题. 典型例题(2)
温馨提醒：构造函数过程中务必要保证不等式的等价变形,要充分借助参数的范围进行化简
典型例题精选与变式
(1)已知函数f(x)=ex-3x+3a(e为自然对数的底数,a∈R). ①求f(x)的单调区间与极值; ②求证:当
3a>ln,且
ex>0
ex时,x>x+-3a.
321x
(2)已知函数f(x)=x(1+ln x).若斜率为k的直线与曲线y=f'(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1 1k 新题好题训练与提高 1.【2020年高考浙江卷22】已知1?a?2，函数f?x??ex?x?a，其中e=2．71828…为自然对数的底数． ??)上有唯一零点； （Ⅰ）证明：函数y?f?x?在(0，??)上的零点，证明： （Ⅱ）记x0为函数y?f?x?在(0，（ⅰ）a?1?x0?2(a?1)； 1ex2．（2020·黑龙江萨尔图大庆实验中学高三三模）已知函数f?x??x?lnx?a?，g?x???（e为自然 22对数的底）. （1）讨论f?x?的极值； （2）当a?1时， （i）求证：当0?x?172时，f?x??x?x； e3（ii）若存在x0??0,m，使得f?x0??g?m??0，求实数m取值范围. 3．（2020·山东省实验高三三模）已知函数f?x???x?2?lnx?2x. （1）判断f?x?在?2,???上的单调性； （2）x?e2时，求证：f?x???2x?1? 4．（2020·全国高三三模）已知函数f?x??（1）讨论函数f?x?的单调性； （2）若函数f?x?有两个零点x1，x2，求证：11?x3?a??x1?0． 5．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模）已知函数f(x)?(x?1)e?（Ⅰ）讨论f(x)极值点的个数； （Ⅱ）若 x???xex?e?（为自然对数的底数）. ?x?alnx?1． 312ax?2ax,a?R 2x0(x0??2)?2f(x0)?1f(?2)?ef(x)是的一个极值点，且，证明：
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