新高考新题型——数学函数的概念与基本初等函数多选题专项练习
及答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．设?x?表示不超过x的最大整数，如：?1.2??1，??1.2???2，y??x?又称为取整函
数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A．?x?R，?2x??2?x?
B．?x,y?R，若?x???y?，则x?y??1 C．?x?R，?x???x?2??1???2x? 2??D．不等式2?x???x??3?0的解集为?x|x?0或x?2? 【答案】BCD 【分析】
通过反例可得A错误，根据取整函数的定义可证明BC成立，求出不等式2t2?t?3?0的解后可得不等式2?x???x??3?0的解集，从而可判断D正确与否. 【详解】
对于A，x??1.5，则2x??3??3,2x?2???2???4，故2x?2x，故A不成立.
对于B，x?y?m，则m?x?m?1,m?y?m?1， 故?m?1??y??m，所以x?y??1，故B成立. 对于C，设x?m?r，其中m?Z,r?0,1?，
2????????????????则?x???x??若0?r?1??1??2m?r??，?2x??2m??2r?， ??2??2?1?1??1?x?x???2x?； r??02r?0，则?，??，故?????2?2?2??若
1?1??1??r?1，则?r???1，?2r??1，故?x???x????2x?，故C成立.
2?2?2??2对于D，由不等式2?x???x??3?0可得x??1或?x??故x?0或x?2，故D正确. 故选：BCD 【点睛】
??3， 2本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
2．已知f(x)?e?x?kex（k为常数），那么函数f(x)的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当k?1时，f(x)?e当k??1时，f(x)?e【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当k?1时，f(x)?e?x?x?x?ex为偶函数，
?ex为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
?ex为偶函数，
当x?0时，t?ex?1且单调递增，而y?t?在t? [1,??)上单调递增， 故函数f(x)?e?x1t?ex在x? [0,??)上单调递增，故选项C正确，D错误；
?x当k??1时，f(x)?e?ex为奇函数，
当x?0时，t?ex?1且单调递增，而y??t在t? [1,??)上单调递减， 故函数f(x)?e故选:AD． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知k?1或k??1，再判断函数的单调性.
?x1t?ex在x? [0,??)上单调递减，故选项B正确，A错误.
3．已知正数x,y,z，满足3x?4y?12z，则（ ） A．6z?3x?4y C．x?y?4z 【答案】AC
B．
121?? xyzD．xy?4z2
【分析】
令3x?4y?12z?m?1，根据指对互化和换底公式得：
111?logm3，?logm4，?logm12，再依次讨论各选项即可. xyz【详解】
由题意，可令3x?4y?12z?m?1，由指对互化得：
111?x,?y,?z， logm3logm4logm12111111?log3,?log4,?log12由换底公式得：，则有??，故选项B错误； mmmxyzxyz对于选项A，
124??logm12?logm9?logm?0，所以x?2z，又zx34381??logm81?logm64?logm?0，所以4y?3x，所以4y?3x?6z，故选项Axy64111xy??，所以z?，所以xyzx?y22正确；
对于选项C?D，因为
4z2?xy?4x2y2?xy?x?y??x?y???xy?x?y?2?x?y?2?0，
22所以xy?4z，则z?x?y??4z，则x?y?4z，所以选项C正确，选项D错误；
故选：AC. 【点睛】
本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本
111?x,?y,?z，题解题的关键在于令3?4?12?m?1，进而得
logm3logm4logm12xyz再根据题意求解.
4．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x?R，用x表示不超过x的最大整数，则f(x)?x称为高斯函数，又称为取整函数.如：f(2.3)?2，f(?3.3)??4.则下列正确的是（ ） A．函数f(x)是R上单调递增函数
????b，都有f(a)?f(b)?f(a?b) B．对于任意实数a，C．函数g(x)?f(x)?ax（x?0）有3个零点，则实数a的取值范围是
?34??43??，???，? ?45??32?
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