2019年华约自主招生数学试题
1．x1,x2,x3,x4,x5是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是p(p?)，甲赢得比赛的概率是q，求p为多少时，q?p取得最大值．
3．函数f(x)?求a,b的值．
4．（1）证明y?f(g(x))的反函数为y?g?1(f?1(x))；
（2）F(x)?f(?x),G(x)?f?1(x)，若G(x)的反函数是F(x)，证明f(x)为奇函数．
122?(cosx?sinx)sin(x?)?2asinx?b(a?0)的最大值为1，最小值为?4，24x2y25．已知椭圆2?2?1与圆x2?y2?b2，过椭圆上一点M作圆的两切线，切点分别为P,Q，
ab直线PQ与x,y轴分别交于点E,F，求S?EOF的最小值．
6．已知数列{an}满足:a1?0,an?1?npn?qan．（1）若q?1，求an；（2）若|p|?1,|q|?1，求证：数列{an}有界．
7．已知n?N*,x?n,求证:n?n(1?)nex?x2．
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
- 1 -
xn
2014年华约自主招生数学试题
参考答案
1．【解】五个数任取四个应该可以得到C54?5个不同的和，现条件中只有4个不同的和，故必有两个和值相同．而这五个和值之和为4(x1?x2?x3?x4?x5)，是4的倍数，所以这个相同的和值只可能是46，从而有x1?x2?x3?x4?x5?44?45?46?46?47?57，故这五个
4数分别为57-44=13，57-45=12，57-46=11，57-47=10，57-46=11，即10，11，11，12，13． 2．【解】若共比赛了3局，则甲赢得比赛的概率为p3；
若共赛了4局，则最后一局甲胜，甲赢得比赛的概率为C32p3(1?p)； 若共比赛了5局，则最后一局甲胜，甲赢比赛的概率为C42p3(1?p)2，因此 q?p3?C32p3(1?p)?C42p3(1?p)2，
所以q?p?p3?C32p3(1?p)?C42p3(1?p)2?p?6p5?15p4?10p3?p，p? 设f(p)?6p5?15p4?10p3?p，p?
1； 21
，则f?(p)?30p4?60p3?30p2?1， 2
1 即f?(p)?30p4?60p3?30p2?1?30[p2(p2?2p?1)?]，
30111 所以f?(p)?30[p2(p?1)2?]?30(p2?p?)(p2?p?)，
303030 又因为p?(,1)，所以p2?p，故p2?p?12130?0，
所以令f?(p)?0时，即p2?p?1301?1??0，得p?4302?111??； 2430 又因为p?(,1)，所以取p?12111??， 24301111111?)时，f?(p)?0,p?(??,1)时，f?(p)?0， 易知当p?(,?224243030所以当p?111??时，f(p)有唯一极大值，也是最大值． 2430www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
- 2 -
3．【解】易知f(x)?(cos2x?sin2x)?2asinx?b??sin2x?2asinx?b?问题等价于g(t)??t2?2ax?b?1，令t?sinx，则21在[?1,1]上的最大值和最小值分别为1和?4． 2①当对称轴t??a??1，即a?1时，则g(t)在[?1,1]上递减，则
1?5g(?1)?2a?b??1,??a?,??2 ?，解得?4
??g(1)??2a?b?1??4?b??1?2?1?2g(?a)?a?b??1??2②当对称轴?1??a?0，即0?a?1时，则?，
1?g(1)??2a?b???4?2? 消去b得a2?2a?4?0，解得a??1?5?(0,1)，舍去． 综上①②可知，a?,b??1为所求．
54
5．【解】设M(acos?,bsin?)(??[0,2?))，直线PQ为点M关于圆x2?y2?b2的切点弦，其
b2b方程为(acos?)x?(bsin?)y?b，从而xE?， ,yF?acos?sin?2 于是S?EOF1b3b3?|xE|?|xF|??， 2a|sin2?|a22a,?b)时，上述等号成立． 22 当且仅当M(?6．【解】（1）当q?1时，an?1?an?npn，则an?an?1?(n?1)pn?1(n?2) 由累加法得an?an?an?1?an?1?an?2?L?a2?a1?a1(n?2)，
www.ks5u.com 版权所有@高考资源网
- 3 -
2019年华约自主招生数学试题Word版含答案
