最新高中数学必修2-知识点总结（史上最全）

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①（直线与平面平行的判定）【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（线线平行?线面平行） 【符号语言】a??,b??,且a∥b?a∥?

②（平面与平面平行的判定）【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（线面平行?面面平行） 【符号语言】a??,b??,ab?P,a∥?，b∥???∥?

引申：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

③（直线与平面平行的性质）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（线面平行?线线平行）

作用：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。

④（平面与平面平行的性质）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行?线线平行）

⑤（直线与平面垂直的判定）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑥（平面与平面垂直的判定）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 ⑦（直线与平面垂直的性质）垂直于同一个平面的两条直线平行。

⑧（平面与平面垂直的性质）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注：（等角定理）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 三、补充：

①证线线平行的方法：Ⅰ.定义法；Ⅱ.线面平行的性质定理；Ⅲ.面面平行的性质定理；Ⅳ.平行公理 P②证线面平行的方法：Ⅰ.线面平行的判定定理；Ⅱ.定义法；Ⅲ.面面平行证线面平行

③证面面平行的方法：Ⅰ.定义法；Ⅱ.面面平行的判定定理；Ⅲ.平面平行的传递性 ④三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那

AO么它也和这条垂线垂直。

B⑤三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那α么它也和这条斜线的射影垂直。

射影长定理图⑥射影长定理：Ⅰ.从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中，垂线段最短。

PⅡ.如图（射影长定理图）：若PA?PB，则OA?OB；若OA?OB，则PA?PB。 Ⅲ. 如图（射影长定理图）：若PA?PB，则OA?OB；若PA?PB，则PA?PB。 ⑦最小角定理：斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所 成角中的最小角。（最小角定理图） b2?c2?a2cosA?2bc⑧余弦定理：a2?c2?b2

cosB?2ac2a?b2?c2cosC?2abAαbCOcB最小角定理图a第三章 直线与方程

一、直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的夹角?叫精品文档

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做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°。则直线的倾斜角?的取值范围为0°≤?＜180°。

2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。

3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。 4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即

坡度（比）=升高量 前进量5.斜率：一条直线的倾斜角?的正切值叫做这条直线的斜率，我们用斜率表示直线的倾斜程度。斜率常用小写字母k表示，即k?tan?。 注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。

k?6.经过两点P1?x1,y1?,P2?x2,y2?(x1?x2)的直线的斜率公式为y2?y1 x2?x17.对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，有l1∥l2?k1?k2 注意：若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1?k2?l1∥l2或l1与l2重合

8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直，即l1?l2?k1k2??1

9.两条直线垂直的条件：l1?l2?k1k2??1或k1，k2中一个为0，另一个不存在 二、直线的方程（5个）

1.直线的点斜式方程（简称点斜式）：y?y0?k(x?x0)

【当直线l的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0，这是直线l与x轴平行或重合，l的方程就是

y?y0?0,或y?y0】

注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。 截距：我们把直线l与x轴交点?a,0?的横坐标a叫做直线在x轴上的截距。我们把直线l与y轴交点?0,b?的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。 注意：截距不是距离，截距是数。

2.直线的斜截式方程（简称斜截式）：y?kx?b 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。 3.直线的两点式方程（简称两点式）：y?y1x?x1? y2?y1x2?x1注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。

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x?x2或y1?y2时，直线P②若P当x1?x2时，直线P1P2没有两点式方程。1P2平1?x1,y1?,P2?x2,y2?中有1行于x轴，直线方程为x?x1?0，或x?x1；当y1?y2时，直线P直线方程为y?y1?0，1P2平行于x轴，或y?y1。

4.直线的截距式方程（简称截距式）：xy??1?a?0,b?0? ab注意：直线的截距式方程不适用于平行于x轴（或y轴）或过原点的直线。

线段P1P2的中点坐标公式：若点P1P2的中点 1,P2的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，且线段P的坐标为?x,y?，则

x1?x22M y1?y2y?2x?5.直线的一般式方程（简称一般式）：

Ax?By?C?0(其中A，B不同时为0）,k=-6..在方程Ax?By?C?0中，

A(k?0) B①当A?0,C?0时，方程表示的直线平行于x轴； ②当B?0,C?0时，方程表示的直线平行于y轴； ③当A?0,B?0,C?0时，方程表示的直线与x轴重合； ④当A?0,B?0,C?0时，方程表示的直线与y轴重合。

7..已知直线

l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0，则

①l1∥l2的充要条件是：l1∥l2?A1B2?A2B1?0且BC12-B2C1?0?或AC12?A2C1?0? ②l1⊥l2的充要条件是：l1?l2?A1A2?B1B2?0 三、直线的交点坐标与距离公式

1.①若方程组有唯一解?l1与l2相交，且有唯一交点； ②若方程组无解?l1∥l2；

③若方程⑴与方程⑵可化成同一个方程?l1与l2重合。 精品文档

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引申：2.当?变化时，方程A1x?B1y?C1???A2x?B2y?C2??0表示直线束。

Ax?B1y?C1?0与直线A2x?B2y?C2?0交3.方程A1x?B1y?C1???A2x?B2y?C2??0表示过直线1点的任意一条直线，但它不能表示A2x?B2y?C2?0这条直线。

延展【常用结论】:4.过l1:A1x?B1y?C1?0与l2:A2x?B2y?C2?0交点的直线方程可设为（不表示l2）或A2x?B2y?C2???A（不表示l1） A1x?B1y?C1???A2x?B2y?C2??01x?B1y?C1??05.与直线Ax?By?C?0平行的直线方程可设为Ax?By?m?0,(m?C) 6.与直线Ax?By?C?0垂直的直线方程可设为Bx?Ay?m?0 7.两点P12|?1?x1,y1?,P2?x2,y2?间的距离公式为：|PP8.原点O?0,0?与任一点P?x,y?的距离公式为：|OP|??x2?x1???y2?y1?x2?y2 |Ax0?By0?C|A?B2222 9.点P0?x0,y0?到直线Ax?By?C?0的距离公式为：d? 10.两条平行直线Ax?By?C1?0与Ax?By?C2?0间的距离为：d?|C1?C2|A?B22 第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程

1、圆的标准方程：(x?a)?(y?b)?r圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2、点M(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的关系的判断方法： （1）(x0?a)2?(y0?b)2>r，点在圆外 （2）(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上 （3）(x0?a)2?(y0?b)2

1、圆的一般方程：x?y?Dx?Ey?F?0，圆心为??的圆

2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 精品文档

222222222221?DE?,??，半径为D2?E2?4F为半径长2?2?2精品文档

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

设直线l：ax?by?c?0，圆C：x2?y2?Dx?Ey?F?0，圆的半径为r，圆心(?D2,的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当d?r时，直线l与圆C相离； （2）当d?r时，直线l与圆C相切；

（3）当d?r时，直线l与圆C相交；直线、圆的位置关系 注意：

1.直线与圆的位置关系

直线与圆相交，有两个公共点?d?R?方程组有两组不同实数解(??0) 直线与圆相切，只有一个公共点?d?R?方程组有唯一实数解(??0) 直线与圆相离，没有公共点?d?R?方程组无实数解(??0)

2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。

3.求经过两圆交点的圆系方程：x2?y2?D??(x2?y21x?E1y?F1?D2x?E2y?F2)?0

4.2.2 圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2相离； （2）当l?r1?r2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|r1?r2|?l?r1?r2时，圆C1与圆C2相交； 精品文档

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