2007考研数学二真题及答案
一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
?（1） 当x?0时，与x等价的无穷小量是 （B）
A. 1?ex B.ln1x1?x C. 1?x?1 D.1?cosx 1?x在区间???,??上的第一类间断点是x?(A)
（2）函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1xA. 0 B. 1 C. ??? D. 22（3）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?列结论正确的是：（C）
?x0f(t)dt,则下
35F(?2) B.F(3)?F(2) 4435 C.F(?3) ??F(2) D.F(?3)??F(?2)
44 A..F(3)??(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 B. 若lim存在, f(0)?0
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)C. 若lim存在, 则f?(0)?0 D. lim存在, f(0)?0
x?0x?0xx1x（5）曲线y??ln(1?e),渐近线的条数为 （D）
xA. 0 B.1 C.2 D.3
A. 若lim(6)设函数f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f\x)?0, 令un= f(n)?1,2.......,n, 则下列结论正确的是 (D)
A.若u1?u2，则?un?必收敛 B. 若u1?u2，则?un?必发散 C. 若u1?u2，则?un?必收敛 D. 若u1?u2，则?un?必发散 （7）二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （B） A.
?x,y???0,0??lim?f?x,y??f?0,0????0
f?0,y??f?0,0?f?x,0??f?0,0??0 ?0，且limB. limy?0x?0yxC.
?x,y???0,0?limf?x,0??f?0,0?x?y22?0
D. lim??f'x?x,0??f'x(0,0)???0,且lim??f'y?x,0??f'y(0,0)???0,
x?0y?0?（8）设函数f(x,y)连续，则二次积分?1?2dx?sinxf(x,y)dy等于 （B）
11A.
?0dy???arcsinyf(x,y)dx B.?0dy???arcsinyf(x,y)dy
1??C.
?0dy?2??arcsiny?f(x,y)dx D.?dy?01??arcsiny?2f(x,y)dx
（9）设向量组?1,?2,?3线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A） ?1??2,?2??3,?3??1 （B） ?1??2,?2??3,?3??1 （C） ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 （D）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1
?2?1?1??100?????（10）设矩阵A=??12?1?，B=?010?,则A于B， （B）
??1?12??000?????(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似
二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
(11)limarctanx?sinx1?. 3x?0x6?x?cost?cos2t?上对应于t?的点处的法线斜率为（2?1）. (12)曲线?4?y?1?sint(13)设函数y?1?nn，则y?0?＝2?3.
2x?3(14)二阶常系数非齐次线性微分方程y''?4y'?3y?2e2x的通解y＝_C1ex?C2e3x?2e2x. (15)设
f(u,v)是二元可微函数，
yxz?f(,)xy,则
x?z?z2yyx2xyx?y??f1?(,)?f2?(,). ?x?yxxyyxy?0?0(16)设矩阵A???0??0100??010?，则A3的秩为_1______.
001??000?三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）设f(x)是区间?0,其中f?1f(x)xcost?sint????1上单调、可导函数，且满足f(t)dt?tdt，???00sint?cost?4?
是f的反函数，求f(x).
【详解】： 设y?f(t),则t?f?1(y).
xcost?sintdt ?f?1(0)0sint?costcosx?sinx 等式两边同时求导得：xf'(x)?x
sinx?cosxcosx?sinx f'(x)?
sinx?cosx 则原式可化为：
yf'(y)dy??tx（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线y?xa? ?a?1,0?x????下方、x轴上方的无界区域.
（Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)； （Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值. 【详解】：
(I)V(a)???ydx???(xa00??2???x2a2a2?)dx? 2(lna)2a(lna)2?a2(2lna) (II)V?(a)??? 故lna?1
(lna)412?0 得lna(lna?1)?0
即a?e是唯一驻点，也是最小值点，最小值V(e)?e? （19）求微分方程y''x?y'【详解】： 设p?y??2?2??y'满足初始条件y(1)?y'(1)?1的特解.
dydp，则y???代入得： dxdxdpdxx?p2x2(x?p)?p????p dxdppp 设
xd(pu)dudu?u?p?u?p?u?p??1?u?p?c1 ?u 则
dpdpdpp2 即x?p?c1p 由于y?(1)?1
故1?1?c1?c1?0
dy23??x?y??x2?c2 即x?p?p??x?dx32 由y(1)?1?c2?15或c2? 332312352 特解为y?x?或y??x2?
3333（20）已知函数f(a)具有二阶导数，且f'(0)＝1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所确
dz定.设z?f(lny?sinx),求
dx【详解】： y?xey?1x?0d2z，2dxx?0.
?1两边对x求导得y??(ey?1?xey?1?y?)?0
ey?1y?? 得 1?xey?1 （当x?0，y?1)
故有y?x?0e1?1??1 2?1?f?(0)(1?1?1)?0
dzdxx?01?f?(lny?sinx)(y??cosx)yx?0d2z 2dxx?01(y?)22?f??(lny?sinx)(y??cosx)?f?(lny?sinx)(?2?sinx)yy2x?0
?f??(0)(1?1?1)?f?(0)((21)（本题11分）
?1?1?0)?1?(?1)??1 12 设函数
f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
''''f(a)?g(a),f(b)?g(b)证明：存在??(a,b)，使得f(?)?g(?).
【详解】：
证明：设f(x),g(x)在(a,b)内某点c?(a,b)同时取得最大值，则f(c)?g(c)，此时的c就是所求点?使得f(?)?g(?).若两个函数取得最大值的点不同则有设
f(c)?maxf(x),g(d)?maxg(x)故有f(c)?g(c)?0,g(d)?f(d)?0，由介值定理，
在(c,d)内肯定存在?使得f(?)?g(?)由罗尔定理在区间(a,?),(?,b)内分别存在一点
?1,?2,使得f'(?1)＝f'(?2)＝0在区间(?1,?2)内再用罗尔定理，即
存在??(a,b)，使得f''(?)?g''(?).
（22）（本题满分11分）
?x2.?设二元函数f(x,y)??1,?22?x?y计算二重积分
Dx?y?1.1?x?y?2.
??f(x,y)d?.其中D??(x,y)x?y?2
?【详解】：D如图（1）所示，它关于x,y轴对称，f(x,y)对x,y均为偶函数，得
??f(x,y)d??4??f(x,y)d?，其中D是D的第一象限部分.
1DD1y y 2 1 2 ?2 D1 2 x D11D12 1 2 x ?2 (1)
(2)
由于被积函数分块表示，将D1分成（如图（2））：D1?D11UD12,且
2007考研数学二真题及答案
