立体几何
热点一
空间点、线、面的位置关系及空间角的计算
一般出现在解答题的第
(1)问，解答题的第(2).
1
ABCD，AB＝BC＝AD，
2
空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，
问常考查求空间角，一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解
【例1】 (满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角教材探源
本题源于教材选修
M－AB－D的余弦值.
4的第(2)问，引入线
2－1P109例4，在例4的基础上进行了改造，删去了例
面角的求解.
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF，3分(得分点2) 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB.4分(得分点3)
(2)解
→→
由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空
间直角坐标系
A－xyz，则
A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，
→
＝(1，0，－PC
→
3)，AB＝(1，0，0).
2
，222＝2（x－1）＋y＋z即(x－1)＋y－z＝0.①
又M在棱PC上，设PM＝λPC，则
→
→
2
2
2
|z|
x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.②
2
x＝1＋，
2
由①，②解得
2
x＝1－，
2
(舍去)，62
y＝1，z＝－
y＝1，z＝
62，
2626→
所以M1－，从而AM＝1－.8分(得分点5) ，1，，1，
2222设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
·AM＝0，m
→→
即
（2－
2）x0＋2y0＋6z0＝0，
m·AB＝0，
x0＝0，
6，2).10分(得分点6)
所以可取m＝(0，－
·n10m于是cos〈m，n〉＝＝.
|m||n|5因此二面角M－AB－D的余弦值为得分要点
?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，
“步步为赢”，在第
(1)问中，作辅助线→证明线线平行→证明线面
105
.12分(得分点7)
平行；第(2)问中，建立空间直角坐标系→根据直线定M的坐标→求平面
BM和底面ABCD所成的角为45°和点M在直线PC上确
ABM的法向量→求二面角M－AB－D的余弦值.
(4)求平面的法向量；(5)求二面
?得关键分：(1)作辅助线；(2)证明CE∥BF；(3)求相关向量与点的坐标；角的余弦值，都是不可少的过程，有则给分，无则没分?得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证，如7).
【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系第二步：确定点的坐标
.
)坐标.
.
.
(得分点4)，(得分点5)，(得分点6)，(得分点
第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量第四步：计算向量的夹角
(或函数值).
.
第五步：将向量夹角转化为所求的空间角第六步：反思回顾【对点训练】
.查看关键点、易错点和答题规范.
如图在直角梯形1C1C中，∠CC1B1＝90°，BB1∥CC1，CC1＝B1C1＝2BB1＝2，D是CC1的中点，BB
四边形AA1C1C可以通过直角梯形BB1C1C以CC1为轴旋转得到，且二面角B1－CC1－A为120°．
(1)若点E是线段A1B1上的动点，求证：(2)求二面角B－AC－A1的余弦值.
DE∥平面ABC；
又A1D∩DB，A1D，DB1＝D1?平面DA1B1，
1B1∥平面CAB∴平面DA，
又DE?平面DA1B1，∴DE∥平面ABC.
(2)解
1内，过C1作C1F⊥B1C1，在平面A1B1C
由题知CC1⊥C1B1，CC1⊥A1C1，∴CC1⊥平面A1B1C1.
分别以C1F，C1B1，C1C为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系
1(0，0，0)，A则C(
C1－xyz，
3，－1，1)，C(0，0，2)，B(0，2，1)，
→
3，1，1)，BC＝(0，－2，1)，
→
所以C1A＝(→→
3，－1，1)，C1C＝(0，0，2)，AC＝(－
热点二立体几何中的探索性问题
此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空间角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证；
(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在【例2】在如图所示的几何体中，平面
.
π
⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝，ADNM
3
AB＝2，AM＝1，E是AB的中点.
(1)求证：平面DEM⊥平面ABM；(2)在线段AM上是否存在点理由.
π
P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，求出
4
AP的长；若不存在，请说明
专题04立体几何-2019高考数学热点题型
