高等数学（二）重点知识及解析
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数)：
（1）常值函数：y?c （2）幂函数：y?x （3）指数函数：y?a(a〉0,且a?1) （4）对数函数：y?logax(a〉0,且a?1)
（5）三角函数：y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx
（6）反三角函数：y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx
ax二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如：y?lncosx是由y?lnu，u?cosx这两个个简单函数复合而成.
v例如：y?arctane是由y?arctanu，u?e和v?3x这三个简单函数复合而成.
3x该部分是后面求导的关键！
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将x0代
入到函数表达式中，函数值即是极限值，即limf(x)?f(x0)。
x?x0注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limC?C。 （2）该方法的使用前提是当x?x0的时候，而x??时则不能用此方法。 例1：lim4?4，lim?3??3，limlg2?lg2，lim???，
x???x??1x??x??6x2?3x?102?3?0?1???1 例2：limx?0x?10?1例3：limtan(x?1)tan(2?1)??tan1 （非特殊角的三角函数值不用计算出来）
x?2x?12?1
2、未定式极限的运算法
0（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x0代入后函数值即是
0极限值。
x2?90例1：计算lim. ………未定式，提取公因式
x?3x?30解：原式= lim(x?3)(x?3)?lim(x?3)?6
x?3x?3x?3x2?2x?10例2：计算lim. ………未定式，提取公因式
x?1x2?10?x?1?=?x?1?=0?0
解：原式=limlimx?1?x?1??x?1?x?1?x?1?2（2）对于
2?未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无?穷小的这一关系进行计算。
2n?3? ………未定式，分子分母同时除以n
n??3n?1?32?n?2?0?2 ………无穷大倒数是无穷小 解：原式?limn??13?033?n例1：计算lim3x2?2x?1?3例2：计算lim3. ………未定式，分子分母同除以 xx??2x?x2?5?321?2?3x=0?0 ………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 解：原式=limxxx??152??32xx3、利用等价无穷小的代换求极限
?（1）定义：设?和?是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim=1，称?与?是等价
?无穷小，记作?～?.
（2）定理：设?、?、?、?均为无穷小，又?～?，?～?，且lim则lim''''?'存在 ?'??'''=lim 或 lim????lim??? ??'（3）常用的等价无穷小代换：当x?0时， sinx～x, tanx～x 例1：当x?0时，sin2x～2x，tan(?3x)～?3x
sin2x2x22=lim=lim= ………sin2x用2x等价代换
x?0x?05xx?055x5tan3x3x例3：极限lim=lim=lim3?3 ………tan3x用3x等价代换
x?0x?0xxx?0例2：极限lim
Ⅱ、一元函数的微分学
一、导数的表示符号 （1）函数f(x)在点x0处的导数记作：
f'(x0)，y'x?x0 或
dydxx?x0
（2）函数f(x)在区间（a,b）内的导数记作：
f'(x)，y' 或
dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1）(c)?0 （C为常数） （2）(x)??x'（3）(e)?e （4）(lnx)?x'x'?'??1
1 x（5）(sinx)?cosx （6）(cosx)??sinx （7）(arcsinx)?'''11?x2 （8）(arctanx)?'1 21?x'例：1、x??=3x3’'2 2、
??'1?1???x?x2 3、?sin?=0
26??''?1?'4、??0 5、?2???x?2???2x?3 6、x?1
?x?三、导数的四则运算 运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即
可，代入后用导数公式求解.）
（1）(u?v)?u?v
（2）(u?v)?uv?uv 特别地(Cu)?Cu（C为常数）
''''''''u'u'v?uv'（3）()?
vv2'例1：已知函数y?x?3cosx?2，求y.
4解：y=x'???3?cosx??2=4x4'''3?3sinx?0=4x3?3sinx
2'例2：已知函数f(x)?xlnx，求f'(x)和f(e).
解：f(x)=x''??lnx?x?lnx?=2x?lnx?x2'2'21?=2x?lnx?x x所以f(e)=2e?lne?e?2e?e?3e （注意：lne=1,ln1=0） 例3：已知函数f(x)?x，求f'(x). 21?x2'解：f(x)=
'?x??1?x'??x?1?x?=?1?x??x?2x=1?x?1?x??1?x??1?x?222222222
四、复合函数的求导 1、方 法 一：
例如求复合函数y?sinx的导数.
（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. 如y?sinx由y?sinu和u?x这两个简单函数复合而成 （2）用导数公式求出每个简单函数的导数. 即
222dydu=cosu，=2x dudxdydydu??=2xcosu=2xcosx2 dxdudx复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，
（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x替代回去. ∴
2、方 法 二（直接求导法）：
对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导. 例1：设函数y?cos(?3x)，求y.
解：y=?cox(?3x)?=?sin(?3x)·(?3x)=?sin(?3x)·(?3)=3sin(?3x)
''''例2：设函数y?e解：y=e'lnx，求y.
''??=elnx'lnx·(lnx)=
1lnxe x注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。
五、高阶导数 d2y''1、二阶导数记作：y，f(x) 或 2
''dx我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.
2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导
（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 例1：已知y?5sinx，求y''. 解：∵y=5cosx，∴y''=?5sinx
'例2：已知y?e，求y''2xx?0.
'解：∵y'=e即y''x?02x??2x?=2e2x，∴y''=2?e2x??2x?=4e2x
'=4
六、微分的求法：
（1）求出函数y?f(x)的导数f'(x). （2）再乘以dx即可.即dy?f(x)dx. 例1：已知y?lnx，求dy. 解：∵y=lnx∴dy=
'2'?2'?=
1122'== ?x?2x??22xxx2dx x4例2：设函数y?x?cosx，求dy. 解：∵y=x'??cosx?x?cosx?=4x4'4'3cosx?x4sinx
∴dy=4x3cosx?x4sinxdx
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成考专升本高等数学(二)重点及解析
