旗开得胜 1994A混凝土地板的设计
美国住房和城市发展部（HUD）正在考虑建造从私人住宅到大型公寓的各种不同大小的住房。他们主要关心的是降低居住者的经常性花费，特别是取暖和制冷的费用。建房地区气候温和，全年气温变化适度。
利用特殊技术，HUD的工程师可以建造不需要依靠对流，即无需依靠打开门窗以调节室温的住房。住房是单层的，仅用混凝土板作为地基。你已经受聘作为顾问来分析混凝土地板中的温度变化，以确定是否地板表面上的平均温度以一年中均可保持在给定的舒适范围内。如果可能，什么样的形状与多大尺寸的地板可以做到这一点？
第一部分 地板温度
在下表给出的每日环境温度变化下，考虑混凝土地板的温度变化。假定最高温度发生在正午，而最低温度出现在午夜。设仅考虑辐射，请判定可否设计混凝土地板使得地板表面平均温度保持在给定的舒适范围内。最初可以假设，热量仅通过暴露在外的混凝土板四围传入房间，而地板的上下底面是绝热的。请评价这些假设是否适当以及它们的灵敏性。如果你找不到满足下表所给条件的解答，那么能否给出一组代替下表所给的条件，并找到满足这些条件的设计方案？
以华氏温标为单位的每日温度变化
环境温度 最高 最低 85°F 60°F 第二部分 房屋温度
分析初步假设是否合乎实际，并将这一分析推广于对单屋房屋内温度变化的研究。室温能够保持在舒适范围之内吗？
第三部分 造价
最高 最低 舒适温度 76°F 65°F 1
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旗开得胜 请提出一个设计方案，这一方案既考虑到建造房屋的限制条件和费用，又考虑到HUD降低甚至不需要取暖和制冷费用的设计目标。
创新的供热技术
摘要
代之以通过门窗的对流，室内的加热和制冷系统，住宅的温度变化仅仅是作为混凝土地板的传热结果。给定了周围环境温度的一张表，什么样形状和尺寸的混凝土地板才能保持舒
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旗开得胜 适的地板和室内平均温度。
我们考虑的第一个模型认为地板的顶部和底部绝热，只是通过地板周边的简单热传导的模型。我们对任意形状的地板完成了一般分析，并找到了一个很好地近似地板上任意一点温度的正弦函数，通过地板表面的数值积分来得到平均温度。我们把这个模型用到圆形和方形地板上去。发现大小至少为30m×30m的方形地板能有效地控制住宅内的温度。
假设地板的底部绝热可能是不现实的。在我们的第二个模型中地板底部和周边一样可以有热传导。我们再次找到了一条正弦曲线，并应用于方形地板。板上任意一点的温度变化总是地基温度的周围振动。
然而，如果我们希望通过混凝土地板的传热来加热居室的话，假设地板的顶部绝热是不得要领的。在我们的第三个模型中，我们考虑了通过地板的辐射来加热住宅中的空气。
我们建议住房与城市发展部建造能与地基交换热量的相对大的方形住宅。
问题重述
代之以通过门窗的对流，室内的加热和制冷系统，住宅的温度变化仅仅是作为混凝土地板的传热的结果，表1给出了用绝对温度表示的最高和最低周围环境温度和舒适温度。
表1 以华氏温标为单位的每日温度变化
环境温度 最高 最低 302.6°K 288.7°K 最高 最低 舒适温度 297.6°K 291.5°K 因为我们假定周围温度按正弦曲线变化，按所述的最高和最低温度的近视正弦函数为 2?tT(t)?6.94cos()?295.7 （1）
1440其中t=0表示正午时刻，t的单位用分来表示。
如果地板的顶部和底部绝热的话，地板的形状和尺寸应怎么才能保持舒适温度呢？当把顶部和底部的绝热条件去掉时我们的解答会怎样变化以及怎么能使建筑物内达到舒适温
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1994A混凝土地板的设计——大学生数学建模竞赛
