平面向量的所有公式
设 a=（x，y）， b=(x'，y')。 1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算 xx： 交换律： a+b=b+a； 结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法
如果 a、b 是互为相反的向量，那么 a=-b，b=-a，0.\的反向量为 0 AB-AC= C
B.即“共同起点，指向被减 ” a=(x,y) b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量
实数 λ和向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa，且1 / 6
a+b=
∣λa∣=?a∣。
∣λ∣∣
当 λ＞ 0 时， λa 与 a 同方向；
当 λ＜ 0 时， λa 与 a 反方向；
当 λ=0 时， λa=0，方向任意。
当 a=0 时，对于任意实数 λ，都有 λa=
0。\
注：
按定义知，如果 λa=0，那么 λ=0 或 a=
0。\
实数 λ叫做向量 a 的系数，乘数向量 λa 的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。
当∣ λ∣＞1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ λ＞0）或反方向（ λ＜0）上伸长为原来的 ∣ λ∣倍；
当∣ λ∣＜1 时，表示向量 a 的有向线段在原方向（ λ＞0）或反方向（ λ＜0）上缩短为原来的 ∣ λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算
xx
结合律：
( λ a)?b= λ (a?b)=(a?。 λ b)
向量对于数的分配律（第一分配律）：
( λ +μ )a= λ a+μ a.
数对于向量的分配律（第二分配律）：
λ (a+b)= λ a+λ b.
数乘向量的消去律：
2 / 6
① 如果实数 λ≠0且 λ a=λb，那么 a=b。② 如果 a≠0且 λ a=μa，那么 λ =。μ
4、向量的的数量积
定义：
已知两个非零向量 a,b。作 OA=a,OB=b,则角 AOB称作向量 a 和向量 b 的夹角，记作〈 a,b〉并规定 0≤〈a,b〉≤π
定义：
两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作
a?b。若线，则 a?b=|a|?|b|?cos 〈a，b〉；若 a、b 共线，则 a?b=+-∣a∣∣向量的数量积的坐标表示：
a?b=x?x'+y?y'。
向量的数量积的运算 xx
a?b=b?a（交换律）；
( λ a)?b= λ (a?b)(关于数乘法的结合律 )；
（ a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；向量的数量积的性质
a?a=|a| 的平方。
a⊥b〈=〉a?b=
0。\
|a?b| ≤ |a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：
3 / 6
a、b∣。b 不共
(a?b)?c ≠ a?(b?c)；例如：
(a?b)^2 ≠ a^2?b^
2。\
12、向量的数量积不满足消去律，即：
由 a?b=a?c (a ≠，0)推不出 b=c。
3、|a?b| ≠ |a|?|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b 或 a=-b。
5、向量的向量积
定义：
两个向量 a 和 b 的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作 a×b。若 a、b不共线，则 a×b的模是：
∣ a ×b∣=|a|?|b|?sin 〈a，b〉； a ×b的方向是：
垂直于 a 和 b，且 a、b 和 a×b按这个次序构成右手系。若 a、b 共线，则 a× b=
0。\
向量的向量积性质：
∣ a ×b∣是以 a 和 b 为边的平行四边形面积。
a× a=
0。\
a‖b〈=〉a× b=
0。\
4 / 6
向量的向量积运算 xx
a× b=-b ×a；
（ λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（ a+b）×c=a×c+b×c.
注：
向量没有除法， “向量 AB/向量 CD”是没有意义的。
6、向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当 a、b 反向时，左边取等号；
② 当且仅当 a、b 同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当 a、b 同向时，左边取等号；
② 当且仅当 a、b 反向时，右边取等号。
7、定比分点
定比分点公式（向量 P1P=λ?向量 PP2）
设 P
1、\是直线上的两点， P 是 l 上不同于 P
1、\的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量 P1P=λ?向量 PP2，λ P 分有向线段 P1P2所成的比。
若 P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λ OP2)(1+；λ)（定比分点向量公式）
5 / 6
叫做
点
x=(x1+ λ x2)/(1+ λ ),
y=(y1+ λ y2)/(1+。（λ)定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段
P1P2的定比分点公式
8、三点共线定理
若 OC=λOA +μOB ,且 λ+μ=1 ,则
A、
B、C三点共线
9、三角形重心判断式
在△ ABC中，若 GA +GB +GC=O,则 G 为△ABC10、\向量共线的重要条件
若 b≠0，则 a//b 的重要条件是存在唯一实数
λ，使a//b 的重要条件是 xy'-x'y=
0。\
零向量 0 平行于任何向量。
1
1、\向量垂直的充要条件
a⊥b 的充要条件是 a?b=
0。\
a⊥b 的充要条件是 xx'+yy'=
0。\
零向量 0 垂直于任何向量 .2
6 / 6
a=λb。
的重心
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