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1
v = v0 ． （9）
4
3．确定刚碰完后，A ，B ，C三球组成的系统质心的位置和速度．由于碰撞时间极短，刚碰后A ，B ，C三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc ，yc）表示此时质心的坐标，根据质心的定义，有
xc = yc =
代入数据，得
xc = － yc =
1
l ， （12） 6
ml cosα－ml
， （10）
3mml sinα
． （11） 3m
3
l ． （13） 6
根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度vc的分量为
vcx = vcy =
mv1 + mv2 cosθ－mv3 cosα
， （14）
3m－ mv2 sinθ－mv3sinα
． （15）
3m
由（4）～（7）和（14），（15）各式及α值可得
vcx = 0 ， （16） 5
vcy = － v0 ． （17）
12
4．讨论碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心和D球的运动．刚碰后A ，B ，C三球组成的系统的质心将从坐标（xc = －l / 6 ，yc = 3l / 6）处出发，沿y轴负方向以大小为5 v0 / 12的速度做匀速直线运动；而D球则从坐标原点O出发，沿y轴正方向以大小为v0 / 4的速度做匀速直线运动．A ，B ，C三球组成系统的质心与D球是平行反向运动，只要D球与C球不发生碰撞，则vC ，vD不变，质心与D球之间的距离逐渐减少．到y坐标相同处时，它们相距最近．用t表示所求的时间，则有
vt = yc + vcy t （18）
将vcy ，v ，yc的值代入，得
t =
3l
． （19） 4v0
此时，D球与A ，B ，C三球组成系统的质心两者相距l / 6 ．在求出（19）式的过程中，假设了在t = 因为v3 = 精品文档
3l / 4v0时间内C球未与D球发生碰撞．下面说明此假设是正确的；
3v0 / 3 ，它在x方向分量的大小为3v0 / 6．经过t时间，它沿x轴负方向经
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过的距离为l / 8 ．而C球的起始位置的x坐标为l / 2 ．经t时间后，C球尚未到达y轴，不会与D球相碰．
二、
从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船以足够大的动能，使它在克服地球引力作用后，仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨道．此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的距离可视为不变，仍为日地距离．飞船在地球绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用E表示两轨道的交点，如图1所示．图中半径为rse的圆A是地球绕太阳运行的轨道，太阳S位
B
ve 图1
v
A
rse
P
于圆心．设椭圆B是飞船绕日运行的轨道，P为椭圆轨道的近日点．
由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的周期相等，根据开普勒第三定律，椭圆的半长轴a应与日地距离rse相等，即有
a = rse （1）
根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为2a ，由此可以断定，两轨道的交点E必为椭圆短轴的一个顶点，E与椭圆长轴和短轴的交点Q（即椭圆的中心）的连线垂直于椭圆的长轴．由△ESQ ，可以求出半短轴
b =
r2se－ ( a － SP)2 ． （2）
由（1），（2）两式，并将a = rse = 1AU ，SP= 0.01 AU代入，得
b = 0.141AU ． （3）
在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒的．设飞船在E点的速度为v ，在近日点的速度为vp ，飞船的质量为m ，太阳的质量为Ms ，则有
mva sinθ = mvpSP ， （4）
式中θ为速度v的方向与E ，S两点连线间的夹角：
b
sinθ = ． （5）
a
由机械能守恒，得
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(2020年编辑)第24-28届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答
