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第24届全国中学生物理竞赛决赛试题
2007年11月 宁波
★ 理论部分
一、
A ，B ，C三个刚性小球静止在光滑的水平面上．它们的质量皆为m ，用不可伸长的长度皆为l的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系Oxy ，原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方向如图．另一质量也是m的刚性小球D位于y轴
上，沿y轴负方向以速度v0（如图）与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后，连接A ，B ，C的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D球距A ，B ，C三球组成的系统的质心最近．
D v0 A l B O α x l y
C
二、
为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点到太阳的距离为0.01AU（AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度u0（发射速度是指在关闭火箭发动机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径Re = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力．
三、
如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H 、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A的上方为真空；精品文档
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A的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离）与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1 = H / 4 ．现给电炉丝R通电流对气体加热，使A从高度h1开始上升，停止加热后系统达到平衡时活塞的高度为h2 = 3H / 4 ．求此过程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔该气体温度每升高1 K吸收的热量为3R / 2 ，R为普适气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律．
H 四、
为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为r处的场强为E =
半球形导体球壳
R1R2U
2 ，场强方向沿径向． R2－R1r
A
1．已知绝缘子导体球壳的内半径R2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度Ek = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强E ＞Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什
B 图甲
图乙
导体球
绝缘层
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么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？
2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有电容C0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C1（导体球与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）；每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2 ．若高压输电线对地电压的有效值为U0 ．试画出该系统等效电路图．
3．若C0 = 70 pF = 7 × 10电压（指有效值）．
－11
F ，C1 = 5 pF ，C2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大
五、
如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底端O为原点，建立一直角坐标系Oxy ，y轴与玻璃管的轴线重合．在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一电荷量为Q的正点电荷A ，一个电荷量为q（q＞0）的粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动．设两电荷之间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响．
1．求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条件时，可以在y＞0的区域内存在平衡位置．
2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量m ．以y（m）表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标．当粒子P处于稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________；当粒子P处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是_________________（请将填空答案写在答题纸上）．
3．已知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y1 ．现给P沿y轴一微小扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期．
4．已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2 ，现设想把P放在坐标y3 处，然后从静止开始释放P．求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的y3（只要列出y3满足的关系式，不必求解）．
O
d
A
x
P
G y
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六、
如图所示，一半径为R 、折射率为ng的透明球体置于折射率n0 =1的空气中，其球心位于图中光轴的O处，左、右球面与光轴的交点为O1与O2 ．球体右半球面为一球面反射镜，组成球形反
射器．光轴上O1点左侧有一发光物点P ，P点到球面顶点O1的距离为s ．由P点发出的光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射．
1．问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？
2．当P点沿光轴以大小为v的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的速度运动？并说明当球体的折射率ng 取何值时像点亦做匀速运动．
P O1 O2 s 七、
已知钠原子从激发态（记做 P3 / 2）跃迁到基态（记做 S1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0
=588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考虑相对论效应），被一束沿z轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以 θ 表示钠原子运动方向与z轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间内的钠原子中速率u在什么范围内能产生共振吸收，从S1 / 2 态激发到P3 / 2 态？并求共振吸收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为M = 3.79 × 10量h = 6.626069 × 10
激光束
钠原子 －34
－
－26
kg ，普朗克常
J ? s ，真空中的光速c = 2.997925 × 108 m ? s1 ．
u θ z
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第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答
一、
1．分析刚碰后各球速度的方向．由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度方向仍在y轴上；设其方向沿y轴正方向，大小为v ．由于线不可伸长，所以在D ，B两球相碰的过程中，A ，C两球都将受到线给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对A ，C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向．用θ表示B球的速度方向与x轴的
夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接A ，B ，C三球的两根线立即断了，所以此后各球将做匀速直线运动．
2．研究碰撞后各球速度的大小．以v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后A ，B ，C三球速度的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有
mv1－mv3 cosα + mv2 cosθ = 0 ； （1）
沿y方向有
－mv0 = mv － mv2 sinθ －mv3 sinα ． （2）
根据能量守恒有
1212121212
mv0 = mv1 + mv2 + mv3 + mv． （3） 22222
因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C两球沿BC方向的速度分量相等，A ，B两球沿AB方向的速度分量相等，有
v2 cosθ = v1 ， （4） v2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v3 ． （5）
将α = π / 3代入，由以上各式可解得
v1 = v2 = v3 =
3
v ， （6） 120
21
v ， （7） 60
3
v ， （8） 30
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(2020年编辑)第24-28届全国中学生物理竞赛决赛试题及详细解答
