第9讲 相似三角形5：梅氏定理、塞瓦定理
梅涅劳斯（Menelaus）是约公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学及三角学书籍．下面以他名字命名的定理是他首先发现的，发表在球面几何学的教科书《球论》里，有着广泛的应用，不仅可以证明点共线，对其他几何问题也非常有用．
塞瓦（Ceva）是17世纪意大利数学家兼水力工程师，1678年塞瓦自己发现了后来以他名字命名的定理，同时他重新发现梅涅劳斯定理，当时他一并刊登发表，两个定理齐名流传至今． 一、 基础知识
1． 梅涅劳斯定理（Menelaus theorem）
CA、AB或其延长线上有点D、在⊿ABC的三边BC、E、F，若D、E、F共线，则：
AFBDCE???1； FBDCEA
2． 梅涅劳斯定理的逆定理
在⊿ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，若线．
3． 塞瓦定理（Ceva theorem）
设O是⊿ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则
AFBDCE???1，则D、E、F共FBDCEAAEBDCF???1 EBDCFA4． 塞瓦定理的逆定理
设点D、E、F分别在⊿ABC的边BC、AB、CA上，若一点．
二、 例题部分－梅氏定理及逆定理的应用
AEBDCF???1，则AD、CE、BF交于EBDCFA例1．（★）设AD为⊿ABC的一条中线，作任一直线CF交AD于E，交AB于F，求证：《奥数教程》初二年级 华东师范大学出版社 P206，例1
AE2AF ?EDFB
例2．（★，97年湖北荆州竞赛题）如图，D为⊿ABC的BC边的中点，E为AC边上的点，且AC＝3CE，BE和AD交于F点，求【证明】：
AF的值； FDAECBDFAE2CB2???1，?，? ECBDFAEC1BD1DF1DF1∴?，∴? FA4FA4∵
例3．（★）图中AD是⊿ABC的中线，E是AD上的点，且AE＝2DE，连结BE并延长交AC于F．（1）
求证：AF＝FC；（2）求【证明】：
BF的值； EFAFCBDE???1，CB＝2BD，AE＝2DE，则AF＝FC FCBDEABDCAFEFE1BF3又???1，代入得?，则? DCAFEBEB2EF1
例4．（★，90年全国部分省市初中通讯赛）设D、E分别在⊿ABC的边AC与AB上，BD与CE交于F，AE＝EB，【解】 ∵
AD2?，SDC3ABC＝40，求S四边形AEFD
CDABEFCD3AB2EF1???1，?，?，∴? DABEFCDA2BE1FC3ABC∵S∴S＝40，∴SAEC＝20；
DFC33???20＝9；∴S四边形AEFD＝20－9＝11 45例5．（★★，第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）图中，⊿ABC的∠B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求⊿ABC的三边． 【解】
易知⊿ABD为等腰三角形，AO＝OD＝2；
AECBDOAE1???1，∴?； ECBDOAEC2BDCAEOEO1∵???1，∴?； DCAEOBOB3∵
∵BE＝4，∴EO＝1，OB＝3；∴AB＝BC＝2AB＝213，同时AE＝则EC＝25，故AC＝35
例6．（★★，93年第19届全俄中学生竞赛）在梯形ABCD的对角线AC的延长线上任意取一点P，过P点及梯形两底中点的直线分别交腰AB及CD于M、N点，求证：线段MN与梯形的底平行； 【证明】
AO2?OB2?13；
AO2?OE2?5；
BMAPCKBMPC； ???1，BK＝CK，∴?MAPCKBMAAPDLAPCNCNPC∵； ???1，DL＝LA，∴?LAPCNDNDAPCNBM∴，∴MN∥AD ?NDMA∵
例7．（★★）如图，已知
1111，求证：∠BPQ＝∠DPQ． ???PAPDPCPB
【证明】：由已知
1111，∴AB?CD ???PAPBPCPDPA?PBPC?PD∴AB?PD?PB
AP?CDPC∵BA?PD?CQ?1，∴PB?QB；∴∠BPQ＝∠DPQ
APDCQB
PCQC例8．（★★）如图⊿ABC的∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P点，∠B的平分线与边CA交于Q点，∠C的平分线与边AB交于R点，求证：P、Q、R三点共线． 《奥数教程》初二年级 华东师范大学出版社 P207，例2
拓展．（★★★，笛沙格（Desargues）定理）若⊿ABC与⊿A’B’C’的对应顶点连线AA’，BB’，CC’相交于一点O，则对应边BC与B’C’，CA与C’A’，AB与A’B’的交点D、E、F共线．
三、 例题部分－塞瓦定理及逆定理的应用 例9．（★）求证：（1）三角形的三条中线共点（重心）；（2）三角形的三条内角平分线共点（内心）；（3）锐角三角形的三条高所在的直线共点（垂心）；
例10．（★★，78年全国高中竞赛）在⊿ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，设BE与CD交于S，求证：AS通过BC边的中点M． 【证明】：
ADAE，又BM＝MC ?DBECADBMCE∴???1 DBMCEA∵DE∥BC，∴
∴AM、BE、CF共线，即AS通过BC边的中点M． 例11．（★★）⊿ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，BE⊥AD于E，BE交AM于N，求证：DN∥AB． 【证明】：
连结EM并延长交AB于G，延长BE、AC交于F．
易得⊿ABF为等腰三角形； 则AB＝AF，BE＝EF； ∵BM＝MC，∴ME∥CF ∴BG＝GA
BNEDAG???1 NEDAGBBNDA∴，∴ND∥AB ?NEED∵
例12．（★★）试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点． 【证明】：
设⊿ABC的边BC＝a，AC＝b，AB＝c，周长＝a＋b＋c＝2s； 过A、B、C且平分⊿ABC的周长的三条直线分别交BC、CA、AB于D、E、F，则由BD＋CD＝a，c＋BD＝b＋CD得： BD＝s－c；CD＝s－b；同理可得：
CE＝s－a；AE＝s－c；AF＝s－b；BF＝s－a 故有
AFBDCE???1，由塞瓦定理逆定理可知 FBDCEAAD、BE、CF共点． 例13．（★★★，99年全国联赛）四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，连BE交AC于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC＝∠EAC； 【证明】：
连结BD交AC于H，对⊿BCD及点F，由塞瓦定理：
CGBHDE???1 GBHDEC又AH平分∠BAD，有
BHAB；于是 ?HDAD
CGABDE???1；过C作AB的平行线交AG的延长线于GBADECI，作AD的平行线交AE的延长线于J；则
CGICDEAD； ??GBABECCJCIABAD所以???1，即CI＝CJ；
ABADCJ又CI∥AB，CJ∥AD，则有∠ACI＝180°－∠DAC＝∠ACJ
于是⊿ACI≌⊿ACJ
故∠IAC＝∠JAC，即∠GAC＝∠EAC 例14．（★★★，95年加拿大奥林匹克）已知AD是锐角⊿ABC的高，H是AD上任意一点，连结BH，CH并延长交AC、AB于E、F，连结DE、DF，求证：∠EDH＝∠FDH． 过A作BC的平行线
BDAPCDAG?； ?CDAQBCAPBCAQ ?BDAK三式相乘得，
AG?1，即AG
易得Rt⊿ADK≌Rt⊿ADG AK＝AK 则∠EDH＝∠FDH
四、 练习题
1～6参考《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P211，测试题1～6 1．（★）在⊿ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R，满足AQ:QB＝2:1，AR:RC＝1:2，连结QR交CB延长线于P，那么PC:PB等于（ ） A．4:1 B．2:1 C．1:4 D．1:2 【解】A 2．（★）ABCD为平行四边形，BC＝12，DC＝10，对角线AC与BD交于O，E是BC延长线上一点，且CE＝4，OE交DC于F，那么CF的长是（ ） A．1 B．2 C．0.5 D．3 【解】B 3．（★）已知M、N分别在⊿ABC的边AC、AB上，且MN∥BC，BM、CN交于O点，连结AO并延长交BC于D，那么BD:DC（ ） A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．以上都可能 【解】C 4．（★）在⊿ABC中，如果AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一
BDCEAF等于________； ?2，?3，那么
EAFBDC1【解】
6点，
5．（★）在⊿ABC的BC边上任取一点D，设∠ADB、∠ADC的平分线与AB、AC分别相交于F、E，求证AD、BE、CF交于一点； 【证明】：
DAFADAEA； ??DBFBDCECAFBDCEADBDCD∴??????1 FBDCEABDDCAD易得
由塞瓦定理逆定理可知，AD、BE、CF交于一点；
6．（★）在⊿ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC＝m：1，CE：EA＝n：1，AD与BE相交于F，那么S
ABF:SABC＝___________；
奥数-相似-梅氏赛瓦定理5师
