第五章 矩阵的特征值和特征向量

1. 设A是三阶矩阵，其三个特征值为-，，1，则4A*?3E?

?1??012?????2. ???1?是矩阵A??10a?的特征向量，则a= ，b=

?2??2ab??????0?2a???3. 已知A=?135?有三个线性无关的特征向量，则a=

?002????100??600?????4. 设A~B，其中A=?0x3?，B??2y0?，则x= ,y= ?042??00?1?????11225. 设A是三阶实对称矩阵，其特征值为

??1????1?3,?2??3?5,且?1?3对应的线性无关的特征向量为?1??0?，则?2??3?5?1???对应的线性无关的特征向量为

6. ?，?为三维非零列向量，??，???3，A???T,则A的特征值为 7. 设A为三阶矩阵，方程组AX=0的基础解系为?1,?2,又??-2为A的一个特征值，其对应的特征向量为?3，下列向量中是A的特征向量的是（） （A）?1??3 （B）3?3??1 （C）?1?2?2?3?3 （D）2?1?3?2

8. 设?，?为四维非零列向量，且???，令A???T，则A的线性无关特征向量个数为（）

（A）1 (B)2 （3）3 （D）4

9. 设A,B为正定矩阵，C是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是（） （A）CTAC （B）A?1?B?1 （C）A*?B* （D）A?B

??102???10.设A=?a11?有三个线性无关的特征向量.

?100????200???11.设A=?111? ，求A的特征值，并证明A不可以对角化.

?1?13???12.设ATA?E，证明：A的实特征值的绝对值为1. 13.设?0为A的特征值.

（1）证明：AT与A特征值相等； （2）A2，A2?2A?3E的特征值； （3）若A?0，求A?1，A*，E?A?1的特征值.

14.设A为三阶矩阵，A的特征值为?1?1,?2?2,?3?3，其对应的线性

?1??1??1??1?????????无关的特征向量分别为?1??1?，?2??2?，?3??3?，向量???1?，求An?.

?1??4??9??3??????????a11a12?15.设A=?a21a22?a?31a32a13??a23?，A?0且A*的特征值为-1，-2,2，则a11?a22?a33= a33??16.设?1,?2，?3是三阶矩阵A的三个不同特征值，?1,?2，?3分别是属于特征值?1,?2，?3的特征向量，若?1,A(?1??2)，A2(?1??2??3)线性无关，则

?1,?2，?3满足 17. 设A，B为n阶可逆矩阵，则（） （A）存在可逆矩阵P,使得P?1AP?B （B）存在正交矩阵Q，使得QTAQ?B

（C）A，B与同一个对角矩阵相似 （D）存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B 18.

?1?1?1???设AA??x4y?有三个线性无关的特征向量，且?=2为A

??3?35???的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵. 19.

?11a??1?????设A??1a1?，???1?，方程组AX??有解但不唯一.

?a11??-2?????（1）求a；

（2）求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角库； （3）求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵. 20.

设A为三阶矩阵，?1，?2，?3是三维线性无关的列向量，且

A?1???1?2?2?2?3，A?2?2?1??2?2?3,A?3?2?1?2?2??3.

（1）求矩阵A的全部特征值；（2）求A*?2E. 21.

（1）若A可逆且A~B，证明：A*~B*;

（2）若A~B,证明：存在可逆矩阵P，使得AP~BP.

?x1??22.设方程组?2x1?(a?2)x2?x??1x2?2x2?(a?1)x3?x3?ax3?a?3?31有无穷多个解，

?1???a??0????????1??a?，?2??1?，?,3??0?为矩阵A的分别属于特征值?0??0??a????????1?1，?2?-2，?3?-1的特征向量..（1）求A （2）求A?3E.

0??11?100?????23.设A=?15?2?~B??0b0?，求a,b,及正交矩阵P，使得

?0?2a??006????? PTAP?B.

24.设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为

?2??1??4???????k1??1??k2?3?，设???3?,求A?. ?3??4??-3???????

1. A??,A*的特征值为，于是4A*?3E?10. -，-,4A*?3E的特征值为5,1,2，?012??1??1??5?????????2. 由A????得?10a??1????1?,即?2a??2ab??2??2??2????????1?14121214?解得

a?2b?2???5,a?2,b?3.

?020?a?5?(??1)(??2)2?0,得?1?1，?2??3?2，因为A

3. 由?E?A??1??3??25??22?a??11????可对角化，所以r(2E-A)=1，由2E-A=??1?1?5???00?a?10?得

?00?0?0????00?a=-10.

5??tr(A)?tr(B)?3?x?,即?4. 因为A~B,所以?A?B?2x?12??6y?y，解得

x=3,y=1.

5. 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令?2??3?5对应的

特

征

向

量

为

?x1??x1??0??1?????????Tx,由ax?0得????5对应的线性无关的特征向量为a?1,a??2???3?0?. 1?2?232?x??x??0??1??3??3?????6. 因为

A2?3A,令AX??X，因为A2X??2X，所以有(?2?3?)X?0而X?0，故A的特征值为0或者3，因为?1??2??3?tr?A????,??,所以?1?3，?2??3?0 7. 因为AX=0有非零解，所以r（A）