第二章直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.1 直线与圆的位置关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知直线l:ax-y-a+3=0和圆C:x+y-4x-2y-4=0,则直线l和圆C的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.都有可能
22
解析把圆的方程化为(x-2)+(y-1)=9,直线方程化为a(x-1)=y-3恒过定点(1,3),而(1,3)在圆C的内部,则直线l和圆C相交,故选A. 答案A 22
2.直线3x+4y=b与圆x+y-2x-2y+1=0相切,则b的值是( ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12
22
解析圆的方程为x+y-2x-2y+1=0,
22
可化为(x-1)+(y-1)=1.
由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为
|7-??|5
2
2
=1,得b=2或b=12,故选D.
答案D 22
3.直线y=kx+3被圆x+y-6y=0所截得的弦长是( )
A.6 B.3 C.2√6 D.8
2222
解析∵圆的方程为x+y-6y=0即x+(y-3)=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点
22
(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x+y-6y=0所截得的弦长即为直径6. 答案A 2222
4.(多选题)在同一直角坐标系中,直线y=ax+a与圆(x+a)+y=a的位置不可能为( )
解析由题意,可得a>0,直线y=ax+a显然过点(0,a),故ABD均不可能. 答案ABD 22
5.已知直线ax+by+c=0(ab≠0)与圆x+y=1相切,则三边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 解析由题意知,|??|√??2+??222
=1,∴a+b=c,因此三角形为直角三角形. 22
2
2
答案B 22
6.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)+(y-2)=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ) A.-或
32
325
5
B.-或 54
2
33
C.-3或3 D.-3或-4 3
解析由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为:y+3=k(x-2), 即kx-y-2k-3=0.
又因为反射光线与圆相切,所以2
|-3??-2-2??-3|√??2+143
34
=1,
整理为12k+25k+12=0,解得k1=-,或k2=-.
答案D 22
7.过点P(3,5)引圆(x-1)+(y-1)=4的切线,则切线长为 .
22
解析由圆的标准方程(x-1)+(y-1)=4,
得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,
22
又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|=√(3-1)+(5-1)=2√5,
由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,
222
根据勾股定理得|PB|=√|????|-|????|=√(2√5)-22=4.则切线长为4.
答案4 8.如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为 m.
解析以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:
由题意可知:设圆的方程为:x+(y+r)=r(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:
2
2
2
x2+(y+10)2=100,当水面下降1m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=√51, 所以此时水面宽2√51m.
答案2√51 9.已知直线l过点(-2,0),当直线l与圆x+y=2x有两个交点时,求直线l斜率k的取值范围. 解圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,
设直线方程是y=k(x+2),即kx-y+2k=0,
根据点到直线的距离公式,得即k<8,解得-4 能力提升练 1.若点(a,b)是圆x+y=r外一点,则直线ax+by=r与圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交且不过圆心 D.相交且过圆心 222 解析由题意,得a+b>r, 从而圆心(0,0)到直线的距离为d=??2√??2+??22 2 2 2 2 22 |??+2??|√??2+1<1, 1√2√2∈(0,r), 所以直线与圆相交但不过圆心. 答案C 22 2.(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)+y=1有公共点,则直线l的斜率可能是( ) A.-1 B.- √33 C. 3 1 D.√2 解析由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需|??-3??|√??2+1≤1,所以|2k|≤√??2+1,得k≤3,所以-3≤k≤3,对 2 1√3√3照选项知B,C适合. 答案BC 3.直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是( ) A.[2,6] B.[4,8] C.[√2,3√2] D.[2√2,3√2] |2+0+2|√2解析设圆心到直线AB的距离d==2√2. 点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2. 又AB=2√2,∴S△ABP=2·|AB|·d'=√2d', 1 ∴2≤S△ABP≤6. 答案A 22 4.由直线y=x-1上的一点向圆C:x+y-6x+8=0引切线,则切线长的最小值为( ) A.1 B.√2 C.√3 D.2 解析在直线y=x-1上取一点P,过P向圆引切线,设切点为A.连接CA.在Rt△PAC中,|CA|=r=1.要使|PA|最小,则|PC|应最小.又当PC与直线垂直时,|PC|最小,其最小值为|3-0-1|√2=√2.故 |PA|的最小值为√(√2)-12=1. 答案A 22 5.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)+y=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为 . 解析如图所示,∠CAB=∠BAD=30°, 2 ∴直线l的倾斜角θ的取值范围为0°≤θ≤30°或150°≤θ<180°. ∴直线l的斜率的取值范围为[-答案[-√3√3,] 33 √3√3,3]. 3 6.如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约 秒(精确到0.1). 解析以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t), 可得出直线PQ的方程y-10+t=20-2.5??20 (x-10), 圆O的方程为x+y=1, 由直线PQ与圆O有公共点,可得| 2.5??-20 -??+10|22 2 20-2.5??2√1+() 20 ≤1,化为3t+16t-128≤0,解得0≤t≤ 2 8√7-83 , 而 8√7-83 ≈4.4, 因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒. 答案4.4 7.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径, (1)求圆C的方程; (2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程. 解(1)依题意知:圆C的半径r=|????|2 =3, 2 2 圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)+y=9. (2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0, ∴设直线l2的方程为x-2y+C=0, 又∵弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=|3+??|√12+2√32-22=√5, =2∴|3+C|=5,得C=2或C=-8, ∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0. 222 8.已知圆x+y+2ax-2ay+2a-4a=0(0 (2)若直线l是圆心下方的切线,当a在(0,4]变化时,求m的取值范围. 22 解(1)已知圆的标准方程是(x+a)+(y-a)=4a(0 直线l的方程化为x-y+4=0,则圆心C到直线l的距离是|4-2??|√2=√2|2-a|. 设直线l被圆C所截得弦长为L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得 L=2√(2√??)-(√2|2-??|)=2√-2??2+12??-8=2√-2(??-3)+10. ∵0 (2)∵直线l与圆C相切,则有|??-2??|√2222 =2√??, 即|m-2a|=2√2??. ∵点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m, ∴2a-m=2√2??,∴m=(√2??-1)2-1. ∵0 素养培优练 如图,某市有相交于点O的一条东西走向的公路l,与南北走向的公路m,这两条公路都与一块半径为1(单位:千米)的圆形商城A相切.根据市民建议,欲再新建一条公路PQ,点P,Q分别在公路l,m上,且要求PQ与圆形商城A也相切. (1)当P距O处4千米时,求OQ的长;
新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.5.1直线与圆的位置关系课后提升训练(含解析)人教A版必修一
