绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A?B中元素的个数为 A．1
B．2
C．3
D．4
2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于 A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知sin??cos??4，则sin2?= 3A．?7 9
B．?2 9 C．
2 9 D．
7 9?3x?2y?6?0?5．设x，y满足约束条件?，则z=x-y的取值范围是 x?0?y?0?A．[–3,0]
B．[–3,2]
C．[0,2]
D．[0,3]
1??6．函数f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值为
5366A． B．1
5sinx7．函数y=1+x+2的部分图像大致为
x3C．
5
1D．
5A． B．
C． D．
8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．π
B．
3π 4 C．
π 2 D．
π 410．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则
A．A1E⊥DC1
B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1
D．A1E⊥AC
x2y211．已知椭圆C：2?2?1，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线
abbx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
A．
6 3 B．
23 3
x?1C．
2 3 D．
1312．已知函数f(x)?x?2x?a(eA．??e?x?1)有唯一零点，则a=
C．
1 2 B．
131 2 D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量a?(?2,3),b?(3,m)，且a⊥b，则m= .
3x2y2?1（a>0）的一条渐近线方程为y?x，则a= . 14．双曲线2?a9515．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________。 ?x?1，x?0，116．设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是__________。
2?2，x?0，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
设数列?an?满足a1?3a2?K?(2n?1)an?2n. （1）求?an?的通项公式；
（2）求数列?18．（12分）
?an?? 的前n项和.
?2n?1?某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比． 20．（12分）
在直角坐标系xOy中，曲线y=x+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：
（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
2
21．（12分）
已知函数f(x)=lnx+ax+(2a+1)x．
2
（1）讨论f(x)的单调性； （2）当a﹤0时，证明f(x)??3?2． 4a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为参数），直线l2的参数方程为
y?kt,??x??2?m,?.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）m?y?,?k?（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)?2=0，M为l3
与C的交点，求M的极径.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；
2
（2）若不等式f(x)≥x–x +m的解集非空，求m的取值范围.
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 文（全国卷3,含答案）
