习题课——数学归纳法的应用
课后训练案巩固提升
A组
1.记凸k边形的内角和为f(k),则f(k+1)-f(k)=( )
A. 答案:B
2.下列代数式中能被9整除的是( )(其中k∈N+) A.6+6·7k C.2(2+7k+1)
B.2+7k-1 D.3(2+7k)
π2B.π C.
3π 2D.2π
解析:(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.
(2)假设当k=n(n≥1,n∈N+)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,则当k=n+1时,3(2+7n+1)=21(2+7n)-36=7[3(2+7n)]-36能被9整除,即当k=n+1时命题成立.
由(1)(2)知3(2+7k)能被9整除. 答案:D
3.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为( ) A.
1
(??-1)(??+1)13B.
1
2??(2??+1)1
(2??+1)(2??+2)C.
1
(2??-1)(2??+1)13D.
解析:∵由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,
11=. 153×511
∵S3=3(2×3-1)a3,即3+15+a3=15a3,
11∴a3=35=5×7.
1
同理可得a4=.
7×9即a1+a2=6a2,∴a2=
据此可猜想an=答案:C
1
.
(2??-1)(2??+1)4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为( ) A.(5k-2k)+4×5k-2k C.(5-2)(5k-2k)
B.5(5k-2k)+3×2k D.2(5k-2k)-3×5k
解析:假设当n=k时,5k-2k能被3整除,当n=k+1时,作如下变形:5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,就可以应用假设.故选B. 答案:B
5.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+都成立,则a,b,c的值为( )
141
C.a=0,b=c=
41214A.a=,b=c= B.a=b=c= D.不存在这样的a,b,c
解析:∵等式对一切n∈N+都成立,∴当n=1,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得 1=3(??-??)+??,
11
{1+2×3=32(2??-??)+??,解得a=,b=c=.
241+2×3+3×32=33(3??-??)+??,答案:A
6.用数学归纳法证明“当n∈N+时,1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数”,当n=1时,原式为 ,从k到k+1时需增添的项是 . 解析:∵当n=1时,原式应加到25×1-1=24,
∴原式为1+2+22+23+24.
从k到k+1时需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1. 答案:1+2+22+23+24
25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 7.
导学号88184011已知f(n)=1+
111131
3+3+3+…+??3,g(n)=2?2??2,n∈N+. 234
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系; (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明. 解(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,∴f(1)=g(1).
911
,∴f(2) 88251312 当n=3时,f(3)=,g(3)=,∴f(3) 216216当n=2时,f(2)=,g(2)= (2)由(1),猜想f(n)≤g(n). 下面用数学归纳法给出证明: ①当n=1,2,3时,不等式显然成立. ②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即1+ 1 1 3, (??+1) 111 2?[2-3] 2(??+1)2??(??+1) 11113113 3<2?3+3+3+…+3<2?2,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+234(??+1)??2?? 2?? 2+ ∵= ??+31-3??-1 3?2=32<0, 2(??+1)2??2(??+1)?? 3 1 2=g(k+1). 2(??+1) ∴f(k+1)<2? 由①②可知,对一切n∈N+,都有f(n)≤g(n)成立. B组 1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= ??4+??2 ,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( ) 2 A.k2+1 B.(k+1)2 (??+1)+(??+1)C. 24 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2 解析:当n=k时,等式左端=1+2+…+k2,当n=k+1时,等式左端=1+2+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2,所以当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2. 答案:D 2.记等式1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=n(n+1)(n+2)左边的式子为f(n),用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n从k变为k+1时,等式左边的改变量f(k+1)-f(k)=( ) A.k+1 B.1·(k+1)+(k+1)·1 C.1+2+3+…+k D.1+2+3+…+k+(k+1) 解析:依题意,f(k)=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则f(k+1)=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴f(k+1)-f(k)=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1),故选D. 答案:D 3. 1 6导学号88184012设n∈N+,f(n)=5n+2×3n-1+1. (1)当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值; (2)你对f(n)有何猜想?用数学归纳法证明你的猜想. 解(1)当n=1时,f(1)=51+2×31-1+1=8=8×1; 当n=2时,f(2)=52+2×32-1+1=32=8×4; 当n=3时,f(3)=53+2×33-1+1=144=8×18; 当n=4时,f(4)=54+2×34-1+1=680=8×85. (2)猜想:当n∈N+时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除. ①当n=1时,由(1)知命题成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时命题成立,即f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,则当n=k+1时,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1). 这里,5k,3k-1都是奇数,二者的和为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除,又f(k)能被8整除,故f(k+1)能被8整除,即当n=k+1时命题也成立. 根据①和②,可知命题对任意n∈N+都成立. 4.1+ 132<2, 2 1152+2<3, 2311172+2+2<4, 234 导学号88184013观察下列各不等式: 1+ 1+ 1+… 111192+2+2+2<5, 2345 (1)由上述不等式,归纳出一个与正整数n(n≥2)有关的一般性结论; (2)用数学归纳法证明你得到的结论. 解(1)观察上述各不等式,得到与正整数n(n≥2)有关的一般不等式为1+ (2)以下用数学归纳法证明这个不等式. 11112??-1 2+2+2+…+??2 ①当n=2时,由题设可知,不等式显然成立. ②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即1+ 11112??-111 2+2+2+…+2 1112??-112??-1111112(??+1)-1 . 2 所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据①和②,可知不等式对任何n∈N+且n≥2都成立. 由Ruize收集整理。 感谢您的支持！
数学高中北师大版选修2-2课后习题：1习题课——数学归纳法的应用
