V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜).
2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
2时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 16．解：（1）f?(x)?6x2?6ax?3b，
因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．
即??6?6a?3b?0，
?24?12a?3b?0．解得a??3，b?4．
（2）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)．
1)时，f?(x)?0； 当x?(0，，2)时，f?(x)?0； 当x?(13)时，f?(x)?0． 当x?(2，所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c． 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c恒成立，
2所以 9?8c?c， 解得 c??1或c?9，
2?1)?(9，??)． 因此c的取值范围为(??，17．解: (1)令f?(x)?(?x3?3x?2)???3x2?3?0解得x?1或x??1
当x??1时,f?(x)?0, 当?1?x?1时,f?(x)?0 ,当x?1时,f?(x)?0
所以,函数在x??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故
x1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4
所以, 点A、B的坐标为A(?1,0),B(1,4).
(2) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m2?1?n2?4n?4
1y?n1y?n?x?m?kPQ??，??，所以又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以?2??4?
2x?m22?2?消去m,n得?x?8???y?2??9.
22另法：点P的轨迹方程为m2??n?2??9,其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；
2设点（0，2）关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由
b?21b?2?a?0???，?2??4?得a=8,b=-2 a?022?2?
18．解（1）f?(x)?6x2?6x,f?(2)?12,f(2)?7, ?????????2分
17?0；??4分 ∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?7?12(x?2)，即12x?y?（2）记g(x)?2x?3x?m?3,g?(x)?6x?6x?6x(x?1)
令g?(x)?0,x?0或1. ??????????????????????6分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表
322x g?(x) (??,0) 0 (0,1) 1 (1,??) ? 0 ? 0 ? 极大 极小 ? ? ? 当x?0,g(x)有极大值m?3;x?1,g(x)有极小值m?2. ?????????10分
?g(0)?0由g(x)的简图知，当且仅当?,
g(1)?0??m?3?0即?,?3?m??2时， ?m?2?0函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.
所以若过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线，m的范围是(?3,?2).????14分
19．（1）x????,?2?,或x??2,???,f(x)递减; x???2,2?,f(x)递增; （2）1、当a?0, 2?x????,?2?,f(x)递增;2、当a?0,x???,2?,f(x)递增;3、当0?a?1,x????,2?,或
?a?g(x) 2??2??x??,???,f(x)递增; 当a?1,x????,???,f(x)递增;当a?1,x????,?,或x??2,???,f(x)a??a??递增;（3）因a?0,由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
32?1、当2??1,?a??2, x???1,0????,2?,f(x)递增，f(x)min?f(?1)??3，解得a????2, 4a?a?2、当2??1,?a??2,由单调性知：f(x)min?f()??3，化简得：3a2?3a?1?0，解得
aaa?23?3?21??2,不合要求；综上，a??为所求。
46
a2?lnx，其定义域为?0，20．（1）解法1：∵h?x??2x? ???， xa21∴h??x??2?2?．
xx2∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a?0．
∵a?0，∴a?3． 经检验当a?3时，x?1是函数h?x?的极值点，
∴a?3．
a2?lnx，其定义域为?0，解法2：∵h?x??2x????， xa21∴h??x??2?2?．
xxa2122令h??x??0，即2?2??0，整理，得2x?x?a?0．
xx2∵??1?8a?0，
?1?1?8a2?1?1?8a2∴h??x??0的两个实根x1?（舍去），x2?，
44当x变化时，h?x?，h??x?的变化情况如下表：
x h??x? ?0,x2? — x2 0 极小值 ?x2,??? ＋ h?x? ? ? ?1?1?8a2依题意，?1，即a2?3，
4∵a?0，∴a?3． （2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的
x1,x2??1，e?都有??f?x???min≥??g?x???max．
1当x?［1，e］时，g??x??1??0．
x∴函数g?x??x?lnx在?1，e?上是增函数．
∴??g?x???max?g?e??e?1．
a2?x?a??x?a?∵f??x??1?2?，且x??1,e?，a?0． 2xx?x?a??x?a??0，
①当0?a?1且x?［1，e］时，f??x??x2a2∴函数f?x??x?在［1，e］上是增函数，
x2fx?f1?1?a?∴?. ??????min由1?a≥e?1，得a≥e，
又0?a?1，∴a不合题意．
②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则f??x??2x2?x?a??x?a??0．
若a＜x≤e，则f??x??x2a2∴函数f?x??x?在?1,a?上是减函数，在?a，e?上是增函数．
x∴??f?x???min?f?a??2a.
由2a≥e?1，得a≥又1≤a≤e，∴
?x?a??x?a??0，
e?1， 2e?1≤a≤e． 2③当a?e且x?［1，e］时，f??x???x?a??x?a??0，
x2a2∴函数f?x??x?在?1，e?上是减函数．
xa2∴??f?x???min?f?e??e?e.
a2
由e?≥e?1，得a≥e，
e
又a?e，∴a?e．
?e?1?综上所述，a的取值范围为?,???．
?2?
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《导数及其应用》文科单元测试题（详细答案）
