第六章 向量空间 6.1 定义和例子 6.2 子空间
6.3 向量的线性相关性 6.4 基和维数 6.5 坐标
6.6 向量空间的同构
6.7 矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 返回教案总目录
6.7矩阵的秩，齐次线性方程组的解空间 一、教学思考
1、矩阵的秩与线性方程组解的理论在前面已经有过讨论，本节运用向量空间的有关理论重新认识矩阵的秩的几何意义，讨论线性方程组解的结构。
2、注意：齐次线性方程组（含n个未知量）的解的集合构成Fn的子空间，而非齐次线性方程组的解的集合非也。
3、注意具体方法：1）证矩阵的行空间与列空间的维数相等；2）求齐次线性方程组的基础解系。
二、内容要求
1、内容：矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的解空间。
2、要求：理解掌握矩阵的秩的几何意义，齐次线性方程组的基础解系的求法。
三、教学过程
1、矩阵的秩的几何意义
?a11?a1n???几个术语：设A?Mm?n(F)，A??????，A的每一行看作Fn的一
?a??m1?amn?个元素，叫做A的行向量，用?i(i?1,2?,m)表示；由?i(i?1,2?,m)生成的Fn的
子空间L(?1,?,?m)叫做矩阵A的行空间。
类似地，A的每一列看作Fm的一个元素，叫做A的列向量；由A的n个列向量生成的Fm的子空间叫做矩阵A的列空间。
注：A?Mm?n(F)的行空间与列空间一般不同，分别是Fn与Fm的子空间；下证其维数相同。
引理6.7.1设A?Mm?n(F)，
1）若B?PA，P是一个m阶可逆矩阵，则B与A有相同的行空间； 2）若C?AQ，Q是一个n阶可逆矩阵，则C与A有相同的列空间。
分析：设A??aij?m?n,B??bij?m?n,P??pij?m?m，?i(i?1,2?,m)是A的行向量，
?j(j?1,2?,m)是B的行向量；只需证这两组向量等价。
??1???由题述关系B?PA得：?i?(pi1,?,pim)A?(pi1,?,pim)???
????m? =pi1?1???pim?m;(i?1,2,?,m)
即B的每个行向量都可以由A的行向量线性表示；因为P可逆，有A?P?1B，同上得A每个行向量都可以由B的行向量线性表示，这样这两组向量等价。
定理6.7.2矩阵A?Mm?n(F)的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。
证法：设r(A)?r，分别证行、列空间的维数为r。由维数的定义及行空间的概念，只需证行（列）空间的生成元的极大无关组含r个向量；为此不直接讨论A，由引理讨论讨论与A有相同行空间的一个矩阵，可结合有关矩阵的结论：
?Ir??存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ???????。
??证明：设r(A)?r，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得?Ir???Ir???1?1?PAQ??Q （1），两边右乘得?PA??????????Q，上式右端中后m?r????行全为0，而前r行即为Q?1的前r行；由于Q?1可逆，所以它的行向量线性无关，
因而它的前r行也线性无关，由此得上式右端乘积矩阵的行空间的维数为r，由引理A的行空间的维数为r。
Ir??，可得的列空间的维数也为。 由（1）类似得AQ?P?1?Ar????????定义：矩阵A的行（列）向量组的极大无关组所含（行（列）空间的维数）
向量的个数，叫做矩阵A的秩。
2、线性方程组的解的结构 1）再证线性方程组有解的判定定理：“数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相同。”
?a11x1???a1nxn?b1???证明：设线性方程组? （1）令?1,?,?n表示（1）
?ax???ax?bmnnm?m11?b1???的系数矩阵A的列向量，?????，则（1）可写为：
?b??m?x1?1???xn?n?? （2）
必要性）若（1）有解，即存在x1,?,xn使（2）成立，即?可由?1,?,?n线性表示，从而?1,?,?n与?1,?,?n,?等价，进而L（?1,?,?n）= ，即A与A的列空间相同，由定理r(A)?r(A)。 L（?1,?,?n,?）
充分性）若r(A)?r(A)，由定理2dimL(?1,?,?n)?dimL(?1,?,?n,?)即A与
A的列空间维数相同，又因?1,?,?n的极大无关组一定是?1,?,?n,?的线性无
关组，所以L(?1,?,?n)?L(?1,?,?n,?)，即??L(?1,?,?n)，因而?可由
?1,?,?n线性表示，所以（1）有解。
2）齐次线性方程组的解空间 ?a11x1???a1nxn?0?设? （3）是数域F上一个齐次线性方程组，令A为???ax???ax?0mnn?m11?x1??0?????A其系数矩阵，则（3）可写为??????? （4）或AX??；（3）的每一个解?x??0??n???都可以看作Fn的一个向量，叫做（3）的一个解向量。令S表示（3）的全体解向量构成的集合；首先：因??S，所以S??；
其次：??,??S,?a,b?F，有A(a??b?)?aA??bA???，即a??b??S。因此S作成Fn的一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组（3）的解空间。 注：当AX??仅有零解时，S????；
当AX??有非零解时，上述讨论反映了齐次线性方程组的解的两个重要性质：1）两解之和为解；2）一解之倍数仍为解。从而有无穷多解，那么这些解是否可用有限个解表出，上知（3）的解集S是Fn的一个子空间，从而说明这是可以的，只需求出S的一个基即可。下面就来解决这个问题，即求（3）的解空间的一个基。
重新回顾解线性方程组的过程：设（3）的系数矩阵A的秩为r(?n)，则A可
Cr,n?r??Ir?，与此相应的齐次线性方程组经过一系列（行）初等变换化为?????m?r,n?r??m?r,r?y1?c1r?1yr?1???c1nyn?0??????yr?crr?1yr?1???crnyn?0为：（5）?，这里y1,?,yn是x1,?,xn的重新编号。（5）
0?0??????0?0?有n?r个自由未知量yr?1,?,yn，依次让它们取(1,0,?,0),(0,1,?,0),?,(0,0,?,1)，
??c1r?1???c1r?2???c1n??????????????????c???c???c?rr?1rr?2?????rn?可得（5）的n?r个解向量：?r?1??1?,?r?2??0?,?,?n??0?。下面
?0??1??0??????????????????????001??????证其是（5）的解空间的一个基。
首先：?r?1,?,?n线性无关。事实上设kr?1?r?1???kn?n??，由下面n?r个
分量易得kr?1???kn?0。
其次：设(k1,k2,?,kn)是（5）的任一解，代入（5）得：
k1??c1r?1kr?1???c1nknk2??c2r?1kr?1???c2nkn??kr??crr?1kr?1???crnknkr?1?kr?1
又有恒等式：??kn?kn
?k1???此n个等式即为????kr?1?r?1???kn?n，即（5）的每个解向量都可以由
?k??n??r?1,?,?n线性表示，故{?r?1,?,?n}为（5）的解空间的一个基。注意到（5）与（4）在未知量重新编号后同解，所以重新编排?r?1,?,?n的次序可得（4）的解空间的一个基，从而解决了齐次线性方程组的解的构造问题。并且上述讨论也给出了求解空间的具体方法：即通过解方程组的允许变换得到等价组，在等价组中自由未知量是清楚的，给其一组线性无关值，便得等价组的一组解向量，其构成等价组的解空间的一个基，再调整解向量的次序便得。上述讨论得：
定理6.7.3数域F上一个n元齐次线性方程组的一切解作成Fn的一个子空间，称之为这个线性方程组的解空间。若所给方程组的系数矩阵的秩为r，则解空间的维数为n?r。
定义：一个齐次线性方程组的解空间的一个基，叫做这个方程组的一个基础解系。
注：上述讨论给出了齐次线性方程组的基础解系的存在性及求法；其中自由未知量取值时，只需保证线性无关即可。（例略）
3）非齐次线性方程组的解的结构
?x1??b1?????A设???????,(A?Mm?n(F)) （6）是数域F上一个n元线性方程组。问?x??b??n??m?题当（6）有无穷解时，解的结构如何？为此先引入：把（6）的常数项都换成0，
?x1??0?????便得一个齐次线性方程组A??????? （7），齐次线性方程组（7）叫做方程组
?x??0??n???（6）的导出齐次线性方程组。
注：任一线性方程组都有唯一的导出齐次线性方程组。
为讨论上述问题，先讨论（6）与其导出齐次线性方程组（7）的解之间的关系。
1）（6）的两个解的差是（7）似的解；
?b1???事实上，设?,?是（6）的两个解，有A??A?????，所以
?b??m?A(???)?A??A???。
2）（6）的一个解与（7）的一个解的和是（6）的一个解。（同上）
（6）的解的构造：
定理6.7.4若（6）有解，则（6）的任一解都可以表示为（6）的一个固定解与（7）的一个解的和。
证明：设?是（6）的一个固定解，?是（6）的任一解，要证?可以写为?与（7）的一个解的和，只需证?与?的差是（7）的一个解即可，由上1）显然。 注：定理说明要求（6）的一般解，只需求出（6）的一个解，再求出（6）的一个基础解系，则可将（7）的所有解表出。（注意（7）的解不作成解空间）。（例略）
线性方程组的解空间
