（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练典型习题 提数学素养（含解析） （京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练典型习题 提数学素养（含解析）
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（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练典型习题 提数学素养（含解析） 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
1．已知F为椭圆C：＋错误!＝1的右焦点，M为C上的任意一点．
4(1）求｜MF｜的取值范围；
(2)P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为－错误!，证明：M，N两点的横坐标之和为常数．
解：(1)依题意得a＝2，b＝错误!,所以c＝ 错误!＝1, 所以椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0)， 设椭圆C上的任意一点M的坐标为（xM，yM）, 则错误!＋错误!＝1，
所以|MF|＝(xM－1)＋y错误!＝(xM－1)＋3－错误!x错误!＝错误!x错误!－2xM＋4＝错误!（xM－4)，
又－2≤xM≤2，所以1≤|MF|≤9， 所以1≤｜MF｜≤3,
所以｜MF｜的取值范围为[1，3]．
(2)证明：设P，M，N三点的坐标分别为（xP，yP），(xM，yM），(xN，yN)， 设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则直线PM的方程为y－yP＝k1(x－xP）， 联立方程，得错误!消去y,得
(3＋4k错误!)x－8k1（k1xP－yP）x＋4k错误!x错误!－8k1xPyP＋4y错误!－12＝0， 由根与系数的关系可得xM＋xP＝错误!， 所以xM＝错误!－xP＝错误!， 同理可得xN＋xP＝错误!， 又k1·k2＝－错误!，
故xN＋xP＝错误!＝错误!＝错误!， 则xN＝错误!－xP＝－错误!＝－xM， 从而xN＋xM＝0，
即M，N两点的横坐标之和为常数．
2．（2019·郑州市第二次质量预测）椭圆错误!＋错误!＝1(a〉b〉0）的左、右焦点分别为
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（京津鲁琼专用）2020版高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题练典型习题 提数学素养（含解析） F1，F2，A为椭圆上一动点（异于左、右顶点），△AF1F2的周长为4＋23，且面积的最大值为错误!.
（1)求椭圆C的方程；
(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA,OB(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2，且k1k2＝－错误!，求｜OP｜的取值范围．
解：（1）由椭圆的定义及△AF1F2的周长为4＋2错误!，可得2（a＋c）＝4＋2错误!,所以a＋c＝2＋错误!①.
当A在上(或下）顶点时，△AF1F2的面积取得最大值，即bc＝错误!②, 由①②及a＝c＋b,得a＝2，b＝1，c＝错误!， 所以椭圆C的方程为错误!＋y＝1.
（2）当直线AB的斜率不存在时，k1＝－k2，因为k1k2＝－错误!，所以k1＝±错误!,不妨取
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k1＝错误!，则直线OA的方程为y＝错误!x，
不妨取点A错误!，则B错误!，P(错误!，0），所以｜OP｜＝错误!.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1），B(x2，y2），由错误!可得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0，Δ＝64km－4(4k＋1）(4m－4）＝16(4k＋1－m）>0①，
所以x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。因为k1k2＝－错误!，所以4y1y2＋x1x2＝0，
所以4(kx1＋m）（kx2＋m）＋x1x2＝(4k＋1)x1x2＋4km（x1＋x2）＋4m＝4m－4－错误!＋4m＝0，
化简得2m＝1＋4k（满足①式),所以m≥错误!。
设P（x0,y0），则x0＝错误!＝错误!＝错误!，y0＝kx0＋m＝错误!。
所以|OP|＝x错误!＋y错误!＝错误!＋错误!＝2－错误!∈错误!，所以｜OP|∈错误!. 综上，｜OP|的取值范围为错误!。
3．（2019·济南模拟)已知椭圆D：错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的离心率为e＝错误!,点（－错误!，1)在椭圆D上．
(1)求椭圆D的方程；
(2）过椭圆D内一点P（0,t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM,ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2，若对任意k,存在实数λ，使得k1＋k2＝λk,求实数λ的取值范围．
解：(1)椭圆D的离心率e＝错误!＝错误!，所以a＝错误!b，
又点(－错误!,1)在椭圆D上,所以错误!＋错误!＝1,得a＝2，b＝错误!，所以椭圆D的方程
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