高数答案(下)习题册答案 第六版 下册 同济大学数学系 编
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设
求答案：
二、求下列函数的定义域：
、
y2、 三、求下列极限：
x2siny 1、lim （0） 2、 x2y四、证明极限 lim不存在 证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在 21, 2
五、证明函数在整个xoy面上连续。
证明：当时，f(x,y)为初等函数，连续。当时，
，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
在整个xoy面上连续。 六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式. 解：，
§ 2 偏导数
、设验证
，证明：
、求空间曲线在点（,,1）处切线与y轴正向夹角 x23、设求fx(x,1) ( 1) y 4、设求
， ， 解： ，
、设，证明
6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 222
连续； 不存在，
7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 （2fx(a,b)） § 3 全微分 1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________
(A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在
（C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分： yyy11） 22 2）解：
11y 3）解：
3、设， 求 解：
2dy 4、设
求：
、讨论函数f(x,y
在（0，0）点处
的连续性 、偏导数、 可微性 所以f(x,y)在（0，0）点处连续。 解：
，所以可微。
§4 多元复合函数的求导法则 dzvt1、 设，求 dt
解：=cost.(sint)dt
，求, 2、 设
、 设，f 可微，证明
、 设)，其中f具有二阶连续偏导数，求，，
解：
2 2
4yf111122222
5、 设
，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求
解：
，
du 6、 设，，，求
dx
)。 解：dx
化为
， 7、设
，且变换
可把方程
其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值
证明：
2
得：
8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，
求 和
(a+ab+ab2+b3) § 5 隐函数的求导公式 dy
1、 设yln，求 dx
解：令， z222 2、 设由方程确定，其中f可微，证明 y
3、 设由方程所确定，其中f可微，求
又，
z4、 设
、 设
由方程
，求， ( ，
所确定，F可微，求解：令
所确定，求所确定，求
§ 6 微分法在几何中的应用 1、 求螺旋线在对应于 4处的切线及法平面方程
解：切线方程为 法平面方程
、 求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 ，法平面方程：
2223、 求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为
及法线方程
4、 设f(u,v)可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定
向量平行
，
则
6、设由方程7、设z=z(x,y)由方程
证明：令，则
，所以在（x0,y0,z0）处的切平面与定向量（b,b,a）平行。
5、 证明曲面x 和为上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方0）23
证明：令，则 333
在任一点处的切平面方程为x0 在在三个坐标轴上的截距分别为x0证明曲面z 1 3 23 13
23232323 111 13
13 23 13 13
a,y0a,z0a,在三个坐标轴上的截距的平方和为a2 23 y
上任意一点M(x0,y0,z0)处的切平面都通过原点 x
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ：两边对t 求导，并令 设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
此平面过
原点（0，0，0） § 7 方向导数与梯度
1、 设函数
， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
解：梯度为 grad
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