专题：圆的方程、直线和圆的位置关系
【知识要点】
圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆
（一）圆的标准方程
形如：
(xa)
2
(yb)
2
r
2
这个方程叫做圆的标准方程。
王新敞
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时
ab0，则圆的方程就是
x
2
y
2
r。
2
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确
定了圆，所以，只要
a,b,r三个量确定了且
r＞0，圆的方程就给定了。
王新敞
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件（二）圆的一般方程将圆的标准方程的方程都可以写成
问题：形如x将方程x（1）当D
2
2
2
确定a,b,r，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。
(x
:x
22
a)y
2
2
(yb)DxEyF
2
r,展开可得xF
0。
22
y
2
2ax2bya
2
b
2
r
2
0。可见，任何一个圆
EyF
yDxEy
0的方程的曲线是不是圆？
D2)
2
y
2
2
Dx4F
0左边配方得：(x
(y
2
E2y
2
)
2
(Dx
D
2
E2
2
4F
)
2
E
2
0时，方程（1）与标准方程比较，方程x
为半径的圆。
EyF0表示以(
D2
,
E2
)为圆
心，以
D
2
E2E). E
22
2
4F
（2）当D点(
4F0时，方程x
2
y
2
DxEyF0只有实数解，解为x
D2
,y
E2
,所以表示一个
D2
,
E2
2
（3）当D
4F0时，方程xD
22
2
y
2
DxEy
2
Fy
2
0没有实数解，因而它不表示任何图形。Dx
Ey
F
0称为圆的一般方程.
圆的一般方程的定义：当
E
22
4F0时，方程x
圆的一般方程的特点：（i）x和y的系数相同，不等于零；（ii）没有xy这样的二次项。（三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：
（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当代数方法主要步骤：
（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组
（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
d＝r时，直线与圆相切
;当d (2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。 （3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当 Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0时，直线与圆相交。 圆的切线方程总结：当点(x0,y0)在圆x【典型例题】类型一：圆的方程 例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线 2 y 22 r上时，切线方程为：(y b) 2 2 2 x0xy0yr；(x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r。 2 2 当点(x0,y0)在圆(x a)r上时，切线方程为： y0上的圆的标准方程并判断点0平分的圆的标准方程 y . P(2,4)与圆的关系． 变式1：求过两点A(1,4)、B(3,2)且被直线y 变式2：求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆上所有的点均关于直线0对称的圆的标准方程 . 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P与圆的位置关系，只须看点P与圆心 的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为 (xa) 2 (yb) 2 r．∵圆心在y(1a)(3a) 22 2 0上，故br 2 0．∴圆的方程为(xa)a 1，r 2 2 y 2 r． 2 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．∴ 164 r 2 解之得： 20． 所以所求圆的方程为 (x1)2 y 2 20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心的斜率为1，又 C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为kAB x 2 4213 0． 1，故l AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y3 y 0上，故圆心坐标为(x1) 2 2即xy1 又知圆心在直线故所求圆的方程为 C(1,0)∴半径r AC (11)4 2 20． y 2 20．又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为 dPC(21) 2 4 2 25 2 r．∴点P在圆外． ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将三个点的坐标代入方程 例2：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。 解：设圆的方程为：x ＋y 2 FD4D 0E2EFF2 2 020 0 F ＝0，D ＝ 2 8，E ＝6 圆心：（4， 圆方程为：x 2 ＋y 2 8x ＋6y ＝0 配方：（x 4 ） ＋（y ＋3 ）＝25 3 ），半径r ＝5 例3：求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上． 解：∵圆和直线x A，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知 2y0与2xy 0相切，∴圆心C在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x2y0和2xy0的距离相等．∴ x2y5 x2y5 y 2 ．∴两直线交角的平分线方程是 x3y0或3xy0．又∵圆过点A(0,5)，∴圆心C只能在直线3x 2t 3t5 0上． 2 设圆心C(t,3t)∵C到直线2x 2 y 0的距离等于AC，∴ t(3t5)． 化简整理得t 6t5 0．解得：t (y3)2 1或t5∴圆心是(1,3)，半径为 (y15) 2 5或圆心是(5,15)，半径为55． ∴所求圆的方程为 (x1)25或(x5)2 125． 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4、已知圆O：x 2 y 2 4，求过点P2，4与圆O相切的切线． 4不在圆解：∵点P2，O上，∴切线PT的直线方程可设为2.解得k 34， 所以 ykx24 根据 dr∴ 2k1k 4 2 y 3 x24 4 ， 即3x4y100 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 x2． 0解决（也要注意漏解）．还可以运用 x0xy0y r，求出切点坐标 2 x0、y0的值来解决，此时没有漏解． x 2 例5、自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆求光线所在直线方程。 y 2 4x4y7 0相切， 例6、两圆C1：x公共弦 2 y 2 D1xE1yF1 0与C2：x 2 y 2 D2xE2yF20相交于A、B两点，求它们的 AB所在直线的方程． A、B两点的坐标，再用两点式求直线 “设而不求”的技巧． 分析：首先求求交点，可以采用 AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免 解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为 (x0,y0)，则有： ①② x0x0 22 y0y0 22 D1x0D2x0 D2)x0 E1y0E2y0 (E1 F1F2 00 F1 ①－②得：(D1∵ E2)y0 F2 0．F1 F2 0． A、B的坐标满足方程(D1 D2)x (E1 E2)y D2)x(E1F1 F2 E2)y ∴方程(D10是过A、B两点的直线方程．又过 (D1 D2)x(E1 E2)y A、B两点的直线是唯一的． F1 F2 0． ∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为 说明：上述解法中，巧妙地避开了求 A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用 “设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现 曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种 了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、求过点M(3,1)，且与圆(x 解：设切线方程为 1) 2 y 2 4相切的直线l的方程． y 3k1y1 0，∵圆心(1,0)到切线l的距离等于半径34 (x3)，即3x4y13 0， y1k(x 34 3)，即kx2， ∴ |kk 2 3k1| 1 2 2，解得k ，∴切线方程为 当过点 M的直线的斜率不存在时，其方程为x3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径 0或x 2，故直线x3也适合题 意。所以，所求的直线补充：圆x 2 l的方程是3x4y13 Ey F 3． y 2 Dx 0的切点弦方程： 类型三：弦长、弧问题例8、求直线l:3x y6 0被圆C:x2 y 2 2x4y0截得的弦AB的长. 例9、直线 3xy23d . 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为2r 2 解：依题意得，弦心距的圆心角为 3，故弦长 ABd 2 2，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对 AOB 1) 2 3 例10、圆C：(x(y2) 2 25，直线（2m1）x (m1)y7m40(mR)， （Ⅰ）证明：不论m取何值时， l与C恒有两个交点； （Ⅱ）求最短弦长所在直线方程。 分析：本题最关键的是直线交点系方程的转化，挖掘出直线恒过定点。再探究定点在圆内，下一步只需要去探究点到直线的距离最大时，直线方程是什么。 类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线 3xy230和圆x 2 y 2 4，判断此直线与已知圆的位置关系 . 例12、若直线 yy xm与曲线y4 2 4x有且只有一个公共点，求实数 x 2 2 m的取值范围. m的取值范围是 解：∵曲线 x表示半圆 y 2 4(y0)，∴利用数形结合法，可得实数 2m2或m 3)2 22. (y 3)2 9上到直线3x 4y11 0的距离为1的点有几个？ 例13、圆(x 分析：借助图形直观求解．或先求出直线解法一：圆(x l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答． 3) 2 (y3) 2 9的圆心为O1(3,3)，半径r 3．设圆心O1到 直线3x4y11 0的距离为d，则d 334311 3 2 4 2 2 3．如图，在圆心O1 同侧，与直线3x符合题意．又 4y11 0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点 rd321．∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点 3个． 中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有 解法二：符合题意的点是平行于直线 3x4y110，且与之距离为 1的直线和圆的交点．设所求直线为
高三专题：直线与圆的知识点及经典例题(含答案)
